Inicio · Parte 07
Límite, continuidad, derivada, reglas de derivación, Taylor, optimización de una variable, integral definida y teorema fundamental del cálculo.
El cálculo es el estudio del cambio, y su invención independiente por Newton y Leibniz en la década de 1660 es probablemente el acontecimiento más productivo de la historia de la matemática. Esta parte lo reconstruye con una orientación concreta: la derivada es la mejor aproximación lineal local, y la regla de la cadena es el mecanismo entero del entrenamiento de una red neuronal.
Las clases 141 a 143 tratan el límite y la continuidad. El límite responde a una pregunta que la aritmética no puede: qué valor «debería» tener una función donde no está definida. sin(x)/x no existe en cero y sin embargo tiene un límite perfectamente definido, y esa distinción entre valor y límite es la que hace posible definir la derivada.
Las clases 144 a 150 construyen la derivada y sus reglas. La más importante con diferencia es la regla de la cadena (147): derivar una composición es multiplicar las derivadas de sus piezas. Como una red neuronal es una composición de capas (clase 057), su gradiente es un producto de factores, uno por capa. Ese producto explica de golpe el desvanecimiento del gradiente, por qué ReLU funciona mejor que la sigmoide y por qué las conexiones residuales ayudan.
Las clases 151 y 152 introducen Taylor y la optimización de una variable. Taylor cambia una función difícil por un polinomio con error acotado, y es la base de los métodos de segundo orden, del análisis de convergencia y de la mitad de las aproximaciones que usa el análisis numérico. La condición f'(x) = 0 es el caso unidimensional de ∇f = 0, la condición de primer orden de toda la parte 12.
Las clases 153 a 158 desarrollan la integral como acumulación y el teorema fundamental, que establece que derivar e integrar son operaciones inversas. Ese teorema conecta dos ideas que nacieron separadas —la tangente y el área— y es el resultado que da nombre a la asignatura.
El cierre (159 y 160) pasa a la integración numérica, que es como se calcula en la práctica casi cualquier integral: no hay forma cerrada para e^(-x²) y sin embargo su integral es la que define la distribución normal. Trapecio y Simpson introducen el concepto de orden de convergencia, que reaparecerá en toda la parte 11.
| # | Clase | Demostración ejecutable |
|---|---|---|
141 |
Intuición de límite | limit_intuition |
142 |
Límites algebraicos | algebraic_limits |
143 |
Continuidad | continuity |
144 |
Derivada como tasa de cambio | derivative_as_rate |
145 |
Reglas de derivación | derivative_rules |
146 |
Regla del producto y cociente | product_quotient_rule |
147 |
Regla de la cadena | chain_rule |
148 |
Derivadas de exponenciales y logaritmos | exp_log_derivatives |
149 |
Derivadas trigonométricas | trig_derivatives |
150 |
Derivación implícita | implicit_differentiation |
151 |
Aproximación lineal y Taylor | taylor_approximation |
152 |
Máximos y mínimos | extrema |
153 |
Integral como acumulación | integral_as_accumulation |
154 |
Integral definida | definite_integral |
155 |
Antiderivadas | antiderivatives |
156 |
Teorema fundamental del cálculo | fundamental_theorem |
157 |
Integración por sustitución | substitution |
158 |
Integración por partes | integration_by_parts |
159 |
Integración numérica introductoria | numerical_integration_intro |
160 |
Capstone: optimizar y acumular una señal | capstone_optimize_and_accumulate |
compmath run --part 07| Término | Definición | Clase |
|---|---|---|
| Límite | Valor al que se acerca una función cerca de un punto, exista o no la función en él. | 141 |
| Indeterminación | Forma como 0/0 o ∞/∞ que no determina el límite por sí sola; es de la expresión, no del límite. | 142 |
| Continuidad | f(a) existe, el límite existe y coinciden. Continua no implica derivable. | 143 |
| Derivada | Límite del cociente incremental. Es la pendiente de la mejor aproximación lineal local. | 144 |
| Diferencia central | (f(x+h) − f(x−h))/2h. Aproxima la derivada con error O(h²), un orden mejor que la diferencia adelantada. | 144 |
| Regla del producto | (fg)' = f'g + fg'. No es el producto de las derivadas. | 146 |
| Regla de la cadena | (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x). Es el mecanismo completo de backpropagation. | 147 |
| Derivación implícita | Derivar una relación F(x,y)=0 sin despejar y, tratando y como función de x. | 150 |
| Serie de Taylor | Aproximación polinómica de una función alrededor de un punto, con error acotado por el término siguiente. | 151 |
| Punto crítico | Punto donde la derivada se anula. Puede ser máximo, mínimo o inflexión. | 152 |
| Criterio de la segunda derivada | En un punto crítico, f'' > 0 indica mínimo y f'' < 0 máximo. | 152 |
| Suma de Riemann | Aproximación de una integral por rectángulos. Converge a la integral al refinar la partición. | 153 |
| Integral definida | Área con signo bajo la curva entre dos límites. Es aditiva y cambia de signo al invertir la orientación. | 154 |
| Antiderivada | Función cuya derivada es la dada. Está determinada salvo una constante aditiva. | 155 |
| Teorema fundamental del cálculo | Derivar la integral de una función devuelve la función. Derivación e integración son inversas. | 156 |
| Sustitución | Cambio de variable en una integral. Es la regla de la cadena leída al revés. | 157 |
| Integración por partes | ∫u dv = uv − ∫v du. Es la regla del producto leída al revés. | 158 |
| Orden de convergencia | Exponente p tal que el error de un método cae como O(hᵖ). Trapecio es 2, Simpson es 4. | 159 |