Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
∫ₐᵇ + ∫_b^c = ∫ₐ^c
∫ₐᵇ = −∫_bₐ
valor medio = (1/(b−a))·∫ₐᵇ fLa integral definida representa el área con signo: las regiones bajo el eje cuentan negativo. Esa convención es la que permite que la integral de una función que oscila alrededor de cero sea pequeña, y es la que hace consistente el teorema fundamental.
Las propiedades estructurales son tres. La aditividad en el intervalo permite partir un dominio en trozos y sumar. La orientación invierte el signo al intercambiar los límites, lo que hace que ∫ₐᵃ = 0 sea consistente. Y la linealidad permite integrar término a término, igual que se derivaba.
El valor medio de una función en un intervalo es su integral dividida por la longitud, y es la altura del rectángulo con la misma área. El teorema del valor medio integral garantiza que la función alcanza ese valor en algún punto del intervalo, si es continua.
Esa noción es la que conecta con probabilidad: la esperanza de una variable aleatoria continua es la integral de x·f(x), es decir, un promedio ponderado por la densidad. Y es la que aparece en machine learning como el promedio de una pérdida sobre una distribución, que en la práctica se estima con Monte Carlo (clase 198).
Propiedades de la integral de x².
∫₀¹ x² = 0.333333
∫₁² x² = 2.333333
∫₀² x² = 2.666667
Aditividad: 0.333333 + 2.333333 = 2.666667 ✓
Orientación: ∫₁⁰ x² = −0.333333 ✓
Intervalo nulo: ∫₀⁰ x² = 0 ✓
Valor medio en [0,2]: 2.666667/2 = 1.333333Propiedades de la integral definida.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/154-integral-definida/lab.py
compmath run 154∫₀¹x²∫₁²x²∫₀²x²aditividad∫₁⁰x² (orientación)∫₀⁰x²valor_medio_en_[0,2]{
"∫₀¹x²": 0.33333331,
"∫₁²x²": 2.33333331,
"∫₀²x²": 2.6666665,
"aditividad": true,
"∫₁⁰x² (orientación)": -0.33333331,
"∫₀⁰x²": 0.0
}Esperanza de variables continuas, trabajo y energía en física, acumulación de métricas y área bajo la curva ROC.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780471000051 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).