Inicio · Parte 06
Cambio de base, autovalores, diagonalización, LU, QR, mínimos cuadrados, SVD, pseudoinversa, PCA y álgebra tensorial.
Si la parte 05 enseñó qué es una matriz, esta enseña a desarmarla. Una descomposición escribe una matriz como producto de matrices más simples, y esa reescritura convierte problemas difíciles en fáciles: resolver muchos sistemas, calcular potencias, comprimir datos, encontrar direcciones principales o diagnosticar mal condicionamiento.
Las clases 121 a 124 preparan el terreno con el concepto que más cuesta y más rinde: la base es una elección. Un vector no cambia al cambiar de base; lo que cambia es su lista de coordenadas. La matriz A' = P⁻¹AP representa la misma transformación vista desde otra base, y toda la teoría de autovalores consiste en buscar la base donde la transformación se ve lo más simple posible.
Las clases 125 a 128 son autovalores y diagonalización. Un autovector es una dirección que la transformación solo escala, y en esa base la matriz se convierte en diagonal: aplicarla cien veces cuesta elevar números a la centésima, no multiplicar cien matrices. Las matrices simétricas —que incluyen toda covarianza y todo Hessiano— son siempre diagonalizables con base ortonormal, resultado conocido como teorema espectral.
Las clases 129 a 134 son las descomposiciones de trabajo: LU para resolver muchos sistemas, QR para mínimos cuadrados estables, y SVD, que es la más general y la más útil. La SVD existe para toda matriz, incluso rectangular y singular, y de ella se leen el rango, el número de condición, la mejor aproximación de rango bajo y la pseudoinversa. Si hubiera que quedarse con un solo resultado de álgebra lineal aplicada, sería la SVD.
El teorema de Eckart-Young, que la clase 133 comprueba numéricamente, dice algo muy fuerte: truncar la SVD da la mejor aproximación posible de rango k, no una buena. Ese resultado es el que fundamenta PCA, la compresión de imágenes, los sistemas de recomendación por factorización y LoRA.
El cierre (135 a 139) conecta con la práctica moderna: PCA como SVD de datos centrados, producto de Kronecker, tensores, broadcasting y notación de Einstein. Broadcasting y einsum no son algoritmos nuevos: son notación para expresar operaciones tensoriales sin bucles, y saber leerlos es requisito para leer código de deep learning.
| # | Clase | Demostración ejecutable |
|---|---|---|
121 |
Bases y coordenadas | bases_coordinates |
122 |
Cambio de base | change_of_basis |
123 |
Transformaciones lineales | linear_transformations |
124 |
Núcleo e imagen | kernel_image |
125 |
Autovalores y autovectores | eigen |
126 |
Diagonalización | diagonalization |
127 |
Matrices positivas definidas | positive_definite |
128 |
Formas cuadráticas | quadratic_forms |
129 |
Descomposición LU | lu_decomposition |
130 |
Descomposición QR | qr_decomposition |
131 |
Mínimos cuadrados lineales | least_squares |
132 |
SVD desde la intuición | svd_intuition |
133 |
SVD y compresión | svd_compression |
134 |
Pseudoinversa de Moore-Penrose | pseudoinverse |
135 |
PCA desde álgebra lineal | pca |
136 |
Producto de Kronecker | kronecker |
137 |
Tensores: índices, shape y orden | tensors |
138 |
Broadcasting como operación tensorial | broadcasting |
139 |
Einstein summation | einsum |
140 |
Capstone: PCA y compresión de imágenes | capstone_pca_compression |
compmath run --part 06| Término | Definición | Clase |
|---|---|---|
| Base | Conjunto independiente que genera todo el espacio. Las coordenadas de un vector dependen de la base elegida. | 121 |
| Cambio de base | Transformación A' = P⁻¹AP que expresa la misma aplicación lineal en otra base. | 122 |
| Matrices semejantes | A y P⁻¹AP. Representan la misma transformación y comparten traza, determinante y autovalores. | 122 |
| Núcleo | Conjunto de vectores que la transformación manda al cero. Su dimensión es la nulidad. | 124 |
| Autovalor | Factor λ por el que la transformación escala su autovector: Av = λv. | 125 |
| Teorema espectral | Toda matriz simétrica real es diagonalizable con autovectores ortonormales y autovalores reales. | 126 |
| Definida positiva | Matriz simétrica con todos los autovalores positivos; equivale a xᵀAx > 0 para todo x no nulo. | 127 |
| Forma cuadrática | q(x) = xᵀAx. Sus curvas de nivel son elipses si A es definida positiva. | 128 |
| Factorización LU | A = LU con L triangular inferior y U superior. Factoriza una vez, resuelve muchos sistemas. | 129 |
| Factorización QR | A = QR con Q ortogonal y R triangular superior. Numéricamente más estable que las ecuaciones normales. | 130 |
| Mínimos cuadrados | Solución que minimiza ‖Ax − b‖². Es la proyección de b sobre el espacio columna de A. | 131 |
| Valor singular | Raíz cuadrada de los autovalores de AᵀA. Miden cuánto estira A en cada dirección principal. | 132 |
| SVD | A = UΣVᵀ. Existe para toda matriz. De ella se leen rango, condición y mejor aproximación de rango bajo. | 132 |
| Teorema de Eckart-Young | La SVD truncada a rango k es la mejor aproximación de rango k en norma de Frobenius y espectral. | 133 |
| Pseudoinversa | A⁺, generalización de la inversa a matrices rectangulares o singulares. Da la solución de mínima norma. | 134 |
| PCA | Proyección sobre los autovectores de la covarianza. Es la SVD de los datos centrados. | 135 |
| Producto de Kronecker | A⊗B, matriz en bloques cuyo rango es el producto de los rangos. | 136 |
| Orden de un tensor | Número de índices necesarios para localizar un elemento. Un lote de imágenes es de orden 4. | 137 |
| Broadcasting | Regla que alinea shapes por la derecha y estira las dimensiones de tamaño 1 sin copiar memoria. | 138 |
| Notación de Einstein | Convenio en el que los índices repetidos se suman. Unifica producto, traza, contracción y transposición. | 139 |