Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

155 — Antiderivadas

universitario clase 15 de 20 4 horas demostración antiderivatives

La antiderivada está determinada salvo una constante, y esa constante desaparece en la integral definida.

Fórmulas

F' = f  ⟹  (F + C)' = f
∫ₐᵇ f = F(b) − F(a),  independiente de C

Desarrollo

Una antiderivada de f es cualquier función cuya derivada sea f. Como la derivada de una constante es cero (clase 145), sumar cualquier constante a una antiderivada da otra antiderivada. La familia completa es F(x) + C, y esa C es la razón por la que la integral indefinida se escribe siempre con ella.

En la integral definida la constante desaparece: al restar F(b) − F(a), las constantes se cancelan. Por eso el valor de una integral definida no depende de qué antiderivada se elija, resultado que parece obvio y que conviene comprobar una vez.

Encontrar antiderivadas es sustancialmente más difícil que derivar. Derivar es un procedimiento mecánico que siempre termina; integrar requiere reconocer patrones, y hay funciones elementales cuya antiderivada no es elemental. e^(-x²) es el caso más famoso: su integral define la función error erf, que no se puede escribir con funciones elementales.

Ese hecho —demostrado por Liouville en el siglo XIX— es la razón de ser de la integración numérica. No es que no sepamos calcular la integral: es que se ha demostrado que no existe forma cerrada elemental. La probabilidad normal acumulada es precisamente uno de esos casos.

Ejemplo trabajado

Dos antiderivadas de x² y su integral definida.

F₁(x) = x³/3
F₂(x) = x³/3 + 7

F₁'(2) = 4.0                                 ✓
F₂'(2) = 4.0                                 ✓ misma derivada

diferencia constante: F₂ − F₁ = 7

Integral definida en [1,3]:
  con F₁: 9 − 1/3 = 8.6667
  con F₂: 16 − 7.3333 = 8.6667              ✓ la constante se cancela

Qué calcula el laboratorio

La antiderivada no es única: difiere en una constante.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/155-antiderivadas/lab.py
compmath run 155

Salidas del laboratorio (8)

f
F1
F2
F1'(2)
F2'(2)
misma_derivada
diferencia_constante
la_constante_desaparece_en_la_definida

Muestra de la ejecución real

{
  "f": "x²",
  "F1": "x³/3",
  "F2": "x³/3 + 7",
  "F1'(2)": 4.0,
  "F2'(2)": 4.0,
  "misma_derivada": true
}

Errores comunes

Omitir la constante de integración en una integral indefinida.
Suponer que toda función elemental tiene antiderivada elemental.
Usar antiderivadas distintas para los dos límites de una integral definida.

Dónde se usa

Resolución de ecuaciones diferenciales, cálculo de probabilidades acumuladas y reconstrucción de una magnitud a partir de su tasa de cambio.

Idea rectora de la parte

Derivada nula señala punto crítico, no necesariamente mínimo.

Error a evitar

Confundir punto crítico con extremo global.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Liouville's theorem on elementary integrals — Wolfram MathWorld — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 14 — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

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