🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

158 — Integración por partes

universitario clase 18 de 20 4 horas demostración integration_by_parts

La integración por partes es la regla del producto leída al revés.

Fórmulas

∫u dv = uv − ∫v du
criterio LIATE para elegir u

Desarrollo

Integrar por partes se obtiene integrando la regla del producto y despejando. Su utilidad es transformar una integral difícil en otra más fácil, cambiando cuál de los dos factores se deriva y cuál se integra.

La elección de u determina si el método ayuda o empeora. El criterio LIATE —logarítmica, inversa trigonométrica, algebraica, trigonométrica, exponencial— ordena qué tipo de función conviene elegir como u, y funciona en la mayoría de los casos escolares. La lógica es elegir como u lo que se simplifica al derivar.

En ∫x·eˣdx, elegir u = x hace que du = dx desaparezca el polinomio, dejando ∫eˣdx, inmediata. Elegir al revés produciría x²/2·eˣ, que es peor. La misma integral con un polinomio de grado n requiere aplicar el método n veces.

Hay un caso elegante que conviene conocer: al integrar por partes dos veces ∫eˣ·sin x dx, reaparece la integral original, y despejarla algebraicamente da el resultado. Es un truco que muestra que la integración es más creativa que la derivación.

Ejemplo trabajado

Integrar x·eˣ de 0 a 1.

Elegir u = x  (algebraica, se simplifica al derivar)
       dv = eˣdx

du = dx,  v = eˣ

∫x·eˣdx = x·eˣ − ∫eˣdx = x·eˣ − eˣ

Evaluar en [0,1]:
  (1·e − e) − (0 − 1) = 0 + 1 = 1

Verificación numérica: 1.0000000            ✓
error: 1.4e−09

Qué calcula el laboratorio

Integración por partes: la regla del producto al revés.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/158-integracion-por-partes/lab.py
compmath run 158

Salidas del laboratorio (8)

Muestra de la ejecución real

{
  "integral": "∫₀¹ x·eˣ dx",
  "u": "x",
  "dv": "eˣ dx",
  "formula": "uv - ∫v du",
  "resultado_analitico": 1.0,
  "resultado_numerico": 0.99999999
}

Errores comunes

Dónde se usa

Cálculo de momentos de distribuciones, transformadas de Laplace y Fourier, y deducción de fórmulas de recurrencia para integrales.

Idea rectora de la parte

Taylor cambia una función difícil por un polinomio con error acotado.

Error a evitar

Confundir punto crítico con extremo global.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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