Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

145 — Reglas de derivación

universitario clase 5 de 20 4 horas demostración derivative_rules

Las reglas de derivación se deducen del límite una vez y se aplican mecánicamente después.

Fórmulas

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(f + g)' = f' + g'
(c·f)' = c·f'
(c)' = 0

Desarrollo

Las reglas básicas convierten la derivación en un procedimiento mecánico. Cada una se demuestra una vez desde la definición por límite y luego se aplica sin volver a pensar en límites, que es exactamente el propósito de tener reglas.

La linealidad —la derivada de una suma es la suma de las derivadas, y las constantes salen fuera— es la propiedad que hace que la derivación sea un operador lineal. Eso importa más de lo que parece: permite derivar término a término cualquier polinomio, cualquier serie de potencias y cualquier combinación lineal de funciones.

La regla de la potencia, (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, vale para todo exponente real, no solo natural. Su demostración para exponentes naturales usa el binomio de Newton; para exponentes reales necesita la definición exponencial de la clase 148.

La derivada de una constante es cero, y esa es la razón por la que la antiderivada no es única (clase 155): sumar cualquier constante no cambia la derivada. En optimización, ese hecho significa que desplazar la función objetivo verticalmente no cambia dónde está su mínimo, propiedad que se usa para estabilizar cálculos.

Ejemplo trabajado

Cuatro derivadas verificadas numéricamente.

función        punto   numérica    analítica   coinciden
x³              2      12.000000   3x² = 12       ✓
5x              7       5.000000   5              ✓
x³ + 5x         2      17.000000   3x²+5 = 17     ✓
constante 4     1       0.000000   0              ✓

Linealidad verificada:
  (x³ + 5x)' = (x³)' + (5x)' = 12 + 5 = 17       ✓

Qué calcula el laboratorio

Reglas de potencia, suma y constante verificadas numéricamente.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/145-reglas-de-derivacion/lab.py
compmath run 145

Salidas del laboratorio (4)

x³ en 2
5x en 7
x³+5x en 2
constante 4

Muestra de la ejecución real

{
  "x³ en 2": {
    "numerica": 12.0,
    "analitica": 12.0,
    "coinciden": true
  },
  "5x en 7": {
    "numerica": 5.0,
    "analitica": 5.0,
    "coinciden": true
  },
  "x³+5x en 2": {
    "numerica": 17.0,
    "analitica": 17.0,
    "coinciden": true
  },
  "constante 4": {
    "numerica": 0.0,
    "analitica": 0.0,
    "coinciden": true
  }
}

Errores comunes

Aplicar la regla de la potencia a exponentes que dependen de x: (xˣ)' no es x·xˣ⁻¹.
Suponer que la derivada de un producto es el producto de las derivadas.
Olvidar que la derivada de una constante es cero, no la constante.

Dónde se usa

Derivación de polinomios y modelos lineales, cálculo de gradientes analíticos y verificación de implementaciones de autodiferenciación.

Idea rectora de la parte

Derivada nula señala punto crítico, no necesariamente mínimo.

Error a evitar

Derivar en un punto donde la función no es continua.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 10 — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Stewart, J. Calculus, 8ª ed., Cengage, 2015 — Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

← 144 Derivada como tasa de cambio 146 Regla del producto y cociente →