Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
lím(x→0) sin(x)/x = 1
el límite existe si los laterales coincidenEl límite responde a una pregunta que la evaluación directa no puede: ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a a, sin llegar nunca? Esa exclusión del punto es la clave: el límite no depende de f(a), y por eso existe aunque la función no esté definida allí.
sin(x)/x en cero es el ejemplo canónico. Sustituir da 0/0, que no es un número. Pero al acercarse, los valores tienden inequívocamente a 1, y ese límite es el que hace que la derivada del seno sea el coseno. Toda la trigonometría del cálculo descansa en él.
La definición formal —para todo ε existe un δ— tiene el orden de cuantificadores de la clase 083 y no es un capricho: δ puede depender de ε, y en la mayoría de los casos depende. Cambiar el orden daría la definición de continuidad uniforme, una condición estrictamente más fuerte.
Para que el límite exista, los límites laterales deben coincidir. Una función con un salto tiene ambos laterales pero distintos, y por tanto no tiene límite en ese punto. Comprobar los dos lados numéricamente, como hace el laboratorio, es la forma práctica de detectar discontinuidades.
Acercarse a cero por ambos lados.
f(x) = sin(x)/x (no definida en x = 0)
x f(x)
1.0 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983
0.001 0.99999983
1e−6 0.9999999999998
límite = 1
error en 1e−6: 1.67e−13
Por la izquierda: f(−1e−6) = 0.9999999999998
Los laterales coinciden → el límite existe ✓sin(x)/x cuando x→0: indeterminado en el punto, definido en el límite.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/141-intuicion-de-limite/lab.py
compmath run 141funciondefinida_en_0tabla_de_aproximacionlimiteerror_en_1e-6por_la_izquierdalimites_laterales_coinciden{
"funcion": "sin(x)/x",
"definida_en_0": false,
"tabla_de_aproximacion": {
"x=1": 0.8414709848078965,
"x=0.1": 0.9983341664682815,
"x=0.01": 0.9999833334166665,
"x=0.001": 0.9999998333333416,
"x=1e-06": 0.9999999999998334
},
"limite": 1.0,
"error_en_1e-6": 1.66644475996236e-13,
"por_la_izquierda": 0.9999999999998334
}Definición de derivada e integral, análisis de convergencia de sucesiones y series, comportamiento asintótico de algoritmos y estabilidad de métodos numéricos.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780471000051 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).