Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)
∫ₐᵇ f = F(b) − F(a) con F' = fEl teorema fundamental del cálculo conecta dos problemas que nacieron completamente separados: el de la tangente —resuelto con derivadas— y el del área —resuelto con integrales—. Su enunciado es que son inversos, y esa unificación es el logro central de Newton y Leibniz.
La primera parte dice que la función área, F(x) = ∫ₐˣ f, tiene derivada f. Intuitivamente: al mover el extremo derecho un poquito, el área crece en una franja de altura f(x) y anchura infinitesimal. La segunda parte convierte ese resultado en un método de cálculo: para integrar, basta encontrar una antiderivada y evaluarla en los extremos.
El impacto práctico es difícil de exagerar. Sin el teorema, cada integral exigiría un límite de sumas; con él, muchas se resuelven en una línea. Es la diferencia entre calcular áreas una por una y tener un método general.
El laboratorio comprueba ambas partes numéricamente con cos, cuya antiderivada es sin: integra cos desde cero hasta x y verifica que da sin(x), y luego deriva esa integral y verifica que devuelve cos(x). Que ambas comprobaciones pasen es la confirmación ejecutable del teorema.
Verificar las dos partes con cos.
Primera parte: F(x) = ∫₀ˣ cos(t)dt
F(1.2) numérica = 0.932039
sin(1.2) = 0.932039 ✓
Segunda parte: dF/dx debe ser cos(x)
dF/dx en 1.2 (numérica) = 0.362358
cos(1.2) = 0.362358 ✓
Derivar deshace integrar.Teorema fundamental: derivar deshace integrar.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/156-teorema-fundamental-del-calculo/lab.py
compmath run 156fF(x)=∫₀ˣcossin(x)primera_parte_okdF/dx_numericaf(x)segunda_parte_ok{
"f": "cos(x)",
"F(x)=∫₀ˣcos": 0.93203909,
"sin(x)": 0.9320390859672263,
"primera_parte_ok": true,
"dF/dx_numerica": 0.362358,
"f(x)": 0.3623577544766736
}Cálculo de integrales en forma cerrada, resolución de ecuaciones diferenciales, relación entre función de densidad y función de distribución acumulada.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780471000051 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).