Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
(tan x)' = sec²x = 1/cos²xDerivar el seno da el coseno, derivar el coseno da menos el seno, y repitiendo se vuelve al principio tras cuatro pasos. Ese ciclo de periodo cuatro tiene una consecuencia elegante: la cuarta derivada de sin x es sin x, igual que e^x es su propia primera derivada.
Esa analogía no es casual. La fórmula de Euler, e^(ix) = cos x + i·sin x, unifica ambas familias: las funciones trigonométricas son exponenciales de argumento imaginario. Derivar e^(ix) multiplica por i, y multiplicar por i es girar 90° en el plano complejo, que es exactamente el desplazamiento de fase entre seno y coseno.
El requisito ineludible es que el argumento esté en radianes (clase 062). En grados, cada derivada arrastraría un factor π/180, y tras cuatro derivaciones el factor sería (π/180)⁴ ≈ 9·10⁻⁹. Los errores de unidad angular no lanzan excepción: producen resultados escalados por un factor que parece arbitrario.
La derivada de la tangente, sec²x, diverge donde el coseno se anula. Esa singularidad es real y hay que manejarla: en robótica produce el «bloqueo de cardán», y en cualquier cálculo con ángulos cerca de 90° conviene reformular usando seno y coseno directamente.
El ciclo de derivadas en x = 0.7.
d(sin)/dx numérica = 0.764842 cos(0.7) = 0.764842 ✓
d(cos)/dx numérica = −0.644218 −sin(0.7) = −0.644218 ✓
d(tan)/dx numérica = 1.703879 sec²(0.7) = 1.703879 ✓
Ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin
La cuarta derivada de sin es sin ✓
Requisito: argumento en RADIANESDerivadas trigonométricas y su ciclo de periodo 4.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/149-derivadas-trigonometricas/lab.py
compmath run 149d(sin)/dxcos(x)d(cos)/dx-sin(x)d(tan)/dxsec²(x)ciclocuarta_derivada_de_sin_es_sin{
"d(sin)/dx": 0.76484219,
"cos(x)": 0.7648421872844885,
"d(cos)/dx": -0.64421769,
"-sin(x)": -0.644217687237691,
"d(tan)/dx": 1.70944972,
"sec²(x)": 1.709449715863117
}Análisis de señales, positional encoding, oscilaciones y ondas, cinemática y cualquier modelo periódico.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780198534464 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).