Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

153 — Integral como acumulación

universitario clase 13 de 20 4 horas demostración integral_as_accumulation

La integral es el límite de sumas de rectángulos, y la regla del punto medio converge como O(h²).

Fórmulas

∫f ≈ Σ f(xᵢ*)·Δx
punto medio: error O(h²)

Desarrollo

Integrar es acumular. La suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con rectángulos, y al refinar la partición esa suma converge a la integral. La definición formal exige que el límite sea el mismo independientemente de cómo se elija el punto de evaluación dentro de cada subintervalo, y esa independencia es lo que define a las funciones integrables.

La elección del punto afecta a la velocidad de convergencia aunque no al límite. Evaluar en el extremo izquierdo o derecho da error O(h); evaluar en el punto medio da O(h²), porque los errores por exceso y por defecto se compensan en cada subintervalo. Es una mejora gratuita: el mismo número de evaluaciones, un orden más de precisión.

Esa cancelación por simetría es la misma idea que hace superior la diferencia central (clase 144). Aparece una y otra vez en análisis numérico: aprovechar la simetría para cancelar términos de error de orden impar.

Riemann formalizó esta construcción en 1854. Lebesgue la generalizó en 1902 con una integral que maneja funciones mucho más patológicas y que es la base de la teoría de la probabilidad moderna. Para las funciones de este programa, ambas coinciden.

Ejemplo trabajado

Integrar x² en [0,1] por punto medio.

valor exacto: 1/3 = 0.333333...

n      suma           error
4      0.33203125     1.30e−03
16     0.33325195     8.14e−05
64     0.33333206     5.09e−06
256    0.33333333     3.18e−07

Al cuadruplicar n, el error se divide por 16 → O(h²)   ✓

Qué calcula el laboratorio

Sumas de Riemann convergiendo a la integral.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/153-integral-como-acumulacion/lab.py
compmath run 153

Salidas del laboratorio (5)

integrando
intervalo
valor_exacto_1/3
sumas_de_riemann
orden_de_convergencia

Muestra de la ejecución real

{
  "integrando": "x²",
  "intervalo": [
    0.0,
    1.0
  ],
  "valor_exacto_1/3": 0.3333333333333333,
  "sumas_de_riemann": [
    {
      "n": 4,
      "suma": 0.328125,
      "error": 0.005208333333
    },
    {
      "n": 16,
      "suma": 0.3330078125,
      "error": 0.000325520833
    },
    {
      "n": 64,
      "suma": 0.3333129883,
      "error": 2.0345052e-05
    },
    {
      "n": 256,
      "suma": 0.3333320618,
      "error": 1.271566e-06
    }
  ],
  "orden_de_convergencia": "el error del punto medio cae como h²"
}

Errores comunes

Usar el extremo del intervalo cuando el punto medio cuesta lo mismo y converge mejor.
Suponer que más subintervalos siempre mejoran: el error de redondeo acaba dominando.
Aplicar sumas de Riemann a funciones con singularidades sin tratarlas.

Dónde se usa

Cuadratura numérica, cálculo de probabilidades por integración, acumulación de señales y cualquier magnitud que se obtenga sumando contribuciones infinitesimales.

Idea rectora de la parte

Taylor cambia una función difícil por un polinomio con error acotado.

Error a evitar

Usar diferencias finitas con h demasiado pequeño y amplificar el error de redondeo.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Apostol, T. Calculus, vol. 1, 2ª ed., Wiley, 1967 — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780471000051 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Press, W. et al. Numerical Recipes, 3ª ed., Cambridge, 2007, cap. 4 — Computación científica y Métodos numéricos: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).

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