Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du con u = g(x)
los límites también se transformanIntegrar por sustitución consiste en reconocer que el integrando tiene la forma f(g(x))·g'(x), que es exactamente lo que produce derivar F(g(x)) por la regla de la cadena. Al identificar u = g(x), la integral se convierte en ∫f(u)du, que suele ser inmediata.
La señal para aplicarla es la presencia de una función y de su derivada como factor. En ∫2x·cos(x²)dx, el 2x es la derivada de x², así que la sustitución u = x² cierra el problema. Reconocer ese patrón es la habilidad que hay que entrenar.
En integrales definidas hay que transformar también los límites, y ese es el error más frecuente: cambiar la variable sin cambiar el intervalo. La alternativa es deshacer la sustitución antes de evaluar, pero transformar los límites es más limpio y menos propenso a error.
En probabilidad, la sustitución es el cambio de variable de una densidad, y allí aparece el jacobiano como factor de corrección (clase 075). Esa corrección es la que hace que la densidad transformada siga integrando a 1, y es el mecanismo central de los normalizing flows.
Integrar 2x·cos(x²) de 0 a 1.
Reconocer: la derivada de x² es 2x, que está presente
Sustitución: u = x², du = 2x dx
Límites: x=0 → u=0, x=1 → u=1
∫₀¹ 2x·cos(x²)dx = ∫₀¹ cos(u)du = sin(1) = 0.841471
Verificación numérica directa: 0.841471 ✓Integración por sustitución: la regla de la cadena al revés.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/157-integracion-por-sustitucion/lab.py
compmath run 157integralsustitucionintegral_transformadavalor_directovalor_sustituidovalor_analitico_sin(1)coinciden{
"integral": "∫₀¹ 2x·cos(x²) dx",
"sustitucion": "u = x², du = 2x dx",
"integral_transformada": "∫₀¹ cos(u) du",
"valor_directo": 0.841471,
"valor_sustituido": 0.84147099,
"valor_analitico_sin(1)": 0.8414709848078965
}Cambio de variable en densidades de probabilidad, normalizing flows, simplificación de integrales y reparametrización en inferencia variacional.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).