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Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

151 — Aproximación lineal y Taylor

universitario clase 11 de 20 4 horas demostración taylor_approximation

Taylor cambia una función difícil por un polinomio con error acotado por el primer término omitido.

Fórmulas

f(x) ≈ Σ f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n!
error del grado n ≤ máx|f⁽ⁿ⁺¹⁾|·|x−a|ⁿ⁺¹/(n+1)!
aproximación lineal: f(a) + f'(a)(x−a)

Desarrollo

La serie de Taylor aproxima una función por un polinomio construido con sus derivadas en un punto. El grado 1 es la recta tangente; el grado 2 añade curvatura; cada grado adicional captura más estructura local. Y lo más útil: el error está acotado, no solo es «pequeño».

Esa cota es lo que convierte la aproximación en una herramienta rigurosa. Saber que el error del polinomio de grado n no supera máx|f⁽ⁿ⁺¹⁾|·|x−a|ⁿ⁺¹/(n+1)! permite decidir cuántos términos hacen falta para una precisión dada, en lugar de añadir términos hasta que «parezca suficiente».

Taylor es el motor de buena parte del análisis numérico. El orden de error de la diferencia central (clase 144), el de la regla del trapecio (clase 229) y el del método de Euler (clase 236) se deducen todos truncando un desarrollo de Taylor y contando potencias de h. Cuando la parte 11 diga «error O(h²)», estará diciendo «el desarrollo de Taylor se truncó tras el término lineal».

En optimización, el desarrollo de segundo orden es lo que da el método de Newton: se aproxima la función por una parábola y se salta a su vértice. Y en machine learning, la linealización de primer orden es la que justifica que un paso pequeño en dirección contraria al gradiente reduzca la función.

Ejemplo trabajado

Aproximar e^0.5 con polinomios de grado creciente.

valor exacto: 1.6487212707

grado  aproximación      error
  0    1.0000000000      6.49e−01
  1    1.5000000000      1.49e−01
  2    1.6250000000      2.37e−02
  3    1.6458333333      2.89e−03
  4    1.6484375000      2.84e−04
  5    1.6486979167      2.34e−05

Cota teórica del error de grado 5:
  e^0.5 · 0.5⁶/6! = 3.58e−05      ✓ acota el error real

Qué calcula el laboratorio

Taylor de e^x en 0: el error cae con el grado.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/151-aproximacion-lineal-y-taylor/lab.py
compmath run 151

Salidas del laboratorio (6)

Muestra de la ejecución real

{
  "funcion": "e^x en x=0.5",
  "valor_exacto": 1.6487212707001282,
  "informe": [
    {
      "grado": 0,
      "aproximacion": 1.0,
      "error": 0.6487212707
    },
    {
      "grado": 1,
      "aproximacion": 1.5,
      "error": 0.1487212707
    },
    {
      "grado": 2,
      "aproximacion": 1.625,
      "error": 0.0237212707
    },
    {
      "grado": 3,
      "aproximacion": 1.6458333333,
      "error": 0.002887937367
    },
    {
      "grado": 4,
      "aproximacion": 1.6484375,
      "error": 0.0002837707
    },
    {
      "grado": 5,
      "aproximacion": 1.6486979167,
      "error": 2.3354033e-05
    }
  ],
  "aproximacion_lineal": 1.5,
  "cota_de_error_grado_5": 3.5779541e-05,
  "uso": "linealizar un modelo, métodos de segundo orden, análisis de convergencia"
}

Errores comunes

Dónde se usa

Métodos numéricos y sus órdenes de error, método de Newton, linealización de modelos, análisis de convergencia y funciones especiales en bibliotecas matemáticas.

Idea rectora de la parte

La derivada es la mejor aproximación lineal local, no solo una pendiente.

Error a evitar

Derivar en un punto donde la función no es continua.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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