Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
f continua en a ⟺ f(a) existe, lím f existe, y coinciden
derivable ⟹ continua, pero no al revésLa continuidad es la ausencia de saltos, y su definición formal descompone esa idea en tres requisitos: que la función esté definida en el punto, que el límite exista y que ambos coincidan. Que sean tres y no uno permite clasificar las discontinuidades según cuál falla.
Una discontinuidad removible es aquella en la que el límite existe pero no coincide con el valor (o el valor no existe). Se «arregla» redefiniendo la función en ese punto, de ahí el nombre. Una discontinuidad de salto tiene límites laterales distintos y no se puede arreglar de ninguna forma.
La implicación «derivable implica continua» es cierta y su recíproca es falsa. |x| es continua en cero y no derivable, porque las pendientes laterales son −1 y +1. Ese contraejemplo tiene consecuencias prácticas: ReLU (clase 059) es exactamente ese caso, y su no derivabilidad en cero se resuelve por convenio.
Weierstrass construyó en 1872 una función continua en todo punto y derivable en ninguno, demostrando que la intuición geométrica —«una curva sin saltos tiene tangente casi siempre»— es falsa. Las trayectorias del movimiento browniano tienen esa misma propiedad, hecho relevante en la parte 17 al tratar ecuaciones diferenciales estocásticas.
Dos discontinuidades y una no derivabilidad.
Salto: f(x) = 0 si x<1, 1 si x≥1
lím izquierda = 0, lím derecha = 1
no coinciden → no continua ✗
Removible: g(x) = (x²−1)/(x−1) con g(1) = 5
límite = 2, valor asignado = 5
no coinciden → no continua ✗
se arregla redefiniendo g(1) = 2 ✓
Continua no derivable: |x| en 0
continua ✓
pendiente izquierda −1, derecha +1 ✗ no derivableLos tres requisitos de continuidad en un punto.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/143-continuidad/lab.py
compmath run 143funcion_con_saltodiscontinuidad_removiblerequisitoscontinua_no_implica_derivablederivable_implica_continua{
"funcion_con_salto": {
"limite_izq": 0.0,
"limite_der": 1.0,
"continua": false
},
"discontinuidad_removible": {
"limite": 2.0,
"valor_asignado": 5.0,
"continua": false
},
"requisitos": [
"f(a) existe",
"el límite existe",
"coinciden"
],
"continua_no_implica_derivable": "|x| en 0",
"derivable_implica_continua": true
}Validez de teoremas que exigen continuidad, activaciones no derivables como ReLU, funciones de pérdida por tramos y detección de saltos en series temporales.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).