Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
condición de primer orden: f'(x) = 0
f''(x) > 0 ⟹ mínimo local; f''(x) < 0 ⟹ máximo local
f''(x) = 0 ⟹ el criterio no decideLos extremos locales de una función derivable ocurren donde la derivada se anula, porque en un máximo o un mínimo la tangente es horizontal. Esa es la condición de primer orden, y es necesaria pero no suficiente: x³ tiene derivada nula en cero y no tiene ahí ni máximo ni mínimo.
La segunda derivada resuelve la ambigüedad en la mayoría de los casos: positiva indica que la función se curva hacia arriba (mínimo) y negativa que se curva hacia abajo (máximo). Cuando vale cero, el criterio no decide y hay que examinar derivadas superiores o el comportamiento a ambos lados.
Un punto crítico es local, no global. Encontrar todos los mínimos locales de una función arbitraria es un problema difícil, y esa dificultad es exactamente la que hace que el entrenamiento de redes neuronales sea un problema no convexo. En una función convexa (clase 242), todo mínimo local es global y el problema se simplifica radicalmente.
La generalización a varias variables sustituye f' = 0 por ∇f = 0 y el signo de f'' por el carácter definido positivo del Hessiano (clase 169). La lógica no cambia: primera derivada para localizar, segunda para clasificar.
Puntos críticos de x³ − 3x.
f(x) = x³ − 3x, f'(x) = 3x² − 3
f'(x) = 0 → x = ±1
x = −1: f = 2, f'' = 6x = −6 < 0 → MÁXIMO local
x = 1: f = −2, f'' = 6 > 0 → MÍNIMO local
Extremos globales en ℝ: no existen
f no está acotada: f(x) → ±∞Máximos y mínimos por derivada y criterio de la segunda derivada.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/152-maximos-y-minimos/lab.py
compmath run 152x=-1.0x=1.0extremos_globales_en_R{
"x=-1.0": {
"f(x)": 2.0,
"f'(x)": 0.0,
"f''(x)": -6.0,
"tipo": "máximo local"
},
"x=1.0": {
"f(x)": -2.0,
"f'(x)": 0.0,
"f''(x)": 6.0,
"tipo": "mínimo local"
},
"extremos_globales_en_R": "no existen: f no está acotada"
}Optimización de una variable, condición de primer orden en la parte 12, ajuste de hiperparámetros y análisis de curvas de aprendizaje.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).