🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

146 — Regla del producto y cociente

universitario clase 6 de 20 4 horas demostración product_quotient_rule

La derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

Fórmulas

(fg)' = f'g + fg'
(f/g)' = (f'g − fg')/g²

Desarrollo

La regla del producto es contraintuitiva la primera vez y su demostración explica por qué: al incrementar x, cambian tanto f como g, y el cambio total del producto tiene dos contribuciones —una por cada factor— más un término de segundo orden que se anula en el límite.

Geométricamente, si f y g son los lados de un rectángulo, fg es su área. Al incrementar ambos lados, el área crece en dos franjas —f'g y fg'— más una esquina diminuta que es despreciable. Esa imagen hace la regla memorable sin memorizarla.

La regla del cociente se deduce de la del producto aplicada a f · g⁻¹, y su forma —numerador con resta, denominador al cuadrado— hay que respetarla en el orden: f'g − fg' y no al revés. Invertir el orden cambia el signo, error frecuente y silencioso.

En machine learning estas reglas aparecen cada vez que una función de pérdida es un producto o un cociente de términos. La derivada de la softmax, del cociente de verosimilitudes y de las puertas de una LSTM (clase 315) usan la del producto; la derivada de la sigmoide, σ' = σ(1−σ), se obtiene con la del cociente.

Ejemplo trabajado

Producto y cociente de x² y sin(x) en x = 1.3.

f = x²,  g = sin(x),  x = 1.3

(fg)' por la regla:  2x·sin(x) + x²·cos(x)
                  =  2.5057 + 0.4518 = 2.9575
(fg)' numérica    =  2.9575                    ✓

(f/g)' por la regla: (2x·sin x − x²·cos x)/sin²x
                  =  2.2160
(f/g)' numérica    =  2.2160                   ✓

ERROR común: f'·g' = 2x·cos(x) = 0.6952  ✗ no es la derivada

Qué calcula el laboratorio

Regla del producto y del cociente.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/146-regla-del-producto-y-cociente/lab.py
compmath run 146

Salidas del laboratorio (9)

Muestra de la ejecución real

{
  "f": "x²",
  "g": "sin(x)",
  "x": 1.3,
  "(fg)'_numerica": 2.9573243,
  "(fg)'_regla": 2.9573243,
  "producto_ok": true
}

Errores comunes

Dónde se usa

Derivada de la sigmoide y de la softmax, puertas de LSTM y GRU, cocientes de verosimilitud y cualquier pérdida con términos multiplicativos.

Idea rectora de la parte

La derivada es la mejor aproximación lineal local, no solo una pendiente.

Error a evitar

Confundir punto crítico con extremo global.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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