Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

142 — Límites algebraicos

universitario clase 2 de 20 4 horas demostración algebraic_limits

Una indeterminación es una propiedad de la expresión, no del límite: casi siempre se resuelve reescribiéndola.

Fórmulas

(x²−4)/(x−2) = x+2  para x ≠ 2
lím(x→2) = 4

Desarrollo

Formas como 0/0 o ∞/∞ se llaman indeterminadas porque no determinan el límite: hay ejemplos con esa forma cuyo límite es 0, otros con límite infinito y otros con cualquier valor intermedio. La forma no basta; hay que analizar la expresión concreta.

La técnica básica es reescribir. En (x²−4)/(x−2), factorizar el numerador permite cancelar el factor (x−2), que era el causante de la indeterminación. La función resultante, x+2, coincide con la original en todos los puntos salvo en x = 2, donde la original no existe. Como el límite ignora el punto, el límite de ambas es el mismo.

Ese es el patrón general: la indeterminación aparece porque la expresión escrita esconde una cancelación. Racionalizar, factorizar, dividir por la potencia dominante o usar una identidad son las técnicas habituales. Cuando ninguna funciona, L'Hôpital deriva numerador y denominador por separado —pero conviene usarla como último recurso, porque oculta la estructura del problema.

Hay una conexión directa con la parte 01: la cancelación catastrófica (clase 032) es el equivalente numérico de esta situación. La expresión √(x²+1) − x no es indeterminada en el sentido analítico, pero sufre el mismo problema estructural —una resta que anula dígitos— y se resuelve con la misma técnica: reescribirla.

Ejemplo trabajado

Resolver una indeterminación 0/0 por factorización.

f(x) = (x² − 4)/(x − 2)

En x = 2:  (4−4)/(2−2) = 0/0        indeterminado

Factorizar: (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2   para x ≠ 2

lím(x→2) f(x) = 4

Comprobación numérica:
  f(2.0001) = 4.0001
  f(1.9999) = 3.9999
  error respecto a 4: 1e−4          ✓

Qué calcula el laboratorio

Indeterminación 0/0 resuelta por factorización.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/142-limites-algebraicos/lab.py
compmath run 142

Salidas del laboratorio (8)

funcion
en_x=2
simplificada
limite_en_2
f(2.0001)
f(1.9999)
error
leccion

Muestra de la ejecución real

{
  "funcion": "(x²-4)/(x-2)",
  "en_x=2": "indeterminado 0/0",
  "simplificada": "x + 2",
  "limite_en_2": 4.0,
  "f(2.0001)": 4.000099999999392,
  "f(1.9999)": 3.9999000000006077
}

Errores comunes

Concluir que 0/0 significa que el límite no existe.
Cancelar el factor sin advertir que la función original sigue sin estar definida en el punto.
Aplicar L'Hôpital a formas que no son indeterminadas.

Dónde se usa

Cálculo de derivadas por definición, análisis asintótico y reescritura de expresiones numéricamente inestables.

Idea rectora de la parte

La regla de la cadena es el mecanismo entero de backpropagation.

Error a evitar

Derivar en un punto donde la función no es continua.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008 — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed., SIAM, 2002 — Álgebra lineal numérica y Aritmética de máquina y Métodos numéricos: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780898718027, pendiente de resolver.

Archivos de la clase

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