Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
trapecio: h·(f(a)/2 + Σf(xᵢ) + f(b)/2), error O(h²)
Simpson: h/3·(f(a) + 4Σimpares + 2Σpares + f(b)), error O(h⁴)Cuando una integral no tiene forma cerrada —el caso habitual— hay que calcularla numéricamente. El trapecio aproxima la función por segmentos rectos entre nodos; Simpson la aproxima por parábolas que pasan por tres nodos consecutivos.
La diferencia de precisión es notable. El trapecio tiene error O(h²): duplicar el número de subintervalos divide el error por 4. Simpson tiene error O(h⁴): duplicar lo divide por 16. Con 100 subintervalos, Simpson suele dar diez órdenes de magnitud más de precisión con el mismo número de evaluaciones de la función.
Ese salto tiene una explicación bonita: Simpson es exacto para polinomios de grado 3, aunque solo interpole parábolas. El término cúbico se cancela por simetría, y esa cancelación regala un orden completo. Es el mismo fenómeno que hace superior la diferencia central.
La función del laboratorio, e^(-x²), no tiene antiderivada elemental (clase 155) y su integral define la función error. Que el resultado numérico coincida con erf a doce decimales es la comprobación de que el método funciona, y es cómo se calculan en la práctica las probabilidades de la distribución normal.
Integrar e^(-x²) en [0,1] con 100 subintervalos.
referencia (erf): 0.746824132812
trapecio: 0.746820967 → error 3.17e−06
Simpson: 0.746824133 → error 1.11e−13
Simpson es 7 órdenes de magnitud más preciso
con el mismo número de evaluaciones.
Órdenes: trapecio O(h²), Simpson O(h⁴)Trapecio frente a Simpson sobre la misma integral.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/159-integracion-numerica-introductoria/lab.py
compmath run 159integrandointervalosubintervalostrapeciosimpsonreferencia_erferror_trapecioerror_simpsonordenes{
"integrando": "e^(-x²)",
"intervalo": [
0.0,
1.0
],
"subintervalos": 100,
"trapecio": 0.746818001468,
"simpson": 0.746824132894,
"referencia_erf": 0.746824132812
}Probabilidades de la distribución normal, cálculo de expectativas, integración de señales y cualquier integral sin forma cerrada.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9781305253667 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).