Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral
máximo: buscar la raíz de f'
energía: ∫f² · área: ∫f · valor medio: (1/T)∫fEl capstone analiza una señal amortiguada, e^(-0.5t)·sin(3t), con las dos operaciones del cálculo. La derivada localiza sus extremos; la integral acumula su área, su energía y su valor medio. Ninguna de las dos por separado describe la señal.
Encontrar el máximo se plantea como buscar la raíz de la derivada, y se resuelve por bisección. Esa reformulación —optimizar equivale a resolver f' = 0— es la que conecta la parte 07 con la parte 11: los métodos de búsqueda de raíces son también métodos de optimización, y viceversa.
Las tres integrales tienen interpretaciones distintas. El área es la acumulación con signo, y en una señal oscilante tiende a cancelarse. La energía, ∫f², no se cancela porque el cuadrado es siempre positivo, y por eso es la medida estándar de «cuánta señal hay». El valor medio normaliza el área por la duración.
Esa distinción entre área y energía reaparece en la parte 13: el teorema de Parseval dice que la energía calculada en el tiempo coincide con la calculada en frecuencia, y es la base del análisis espectral. Aquí se introduce sin nombrarla todavía.
Analizar la señal amortiguada en [0,6].
f(t) = e^(−0.5t)·sin(3t)
Primer máximo (raíz de f' por bisección):
t = 0.4048, f(t) = 0.7818
f'(t) = 1.4e−09 ✓ derivada nula
Acumulaciones en [0,6]:
área ∫f = 0.3220
energía ∫f² = 0.2856
valor medio = 0.0537
El área casi se cancela por la oscilación;
la energía no, porque el cuadrado es positivo.Capstone: derivar para optimizar e integrar para acumular una señal.
python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/160-capstone-optimizar-y-acumular-una-senal/lab.py
compmath run 160señalt_del_primer_maximovalor_maximoderivada_en_el_maximoarea_acumulada_0_a_6energia_∫f²valor_mediolas_dos_operaciones{
"señal": "e^(-0.5t)·sin(3t)",
"t_del_primer_maximo": 0.46854922,
"valor_maximo": 0.78038016,
"derivada_en_el_maximo": 0.0,
"area_acumulada_0_a_6": 0.31568341,
"energia_∫f²": 0.48544215
}Análisis de señales, cálculo de energía en física, métricas acumuladas en el tiempo y localización de extremos en curvas experimentales.
Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.
9780131988422 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).