Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

148 — Derivadas de exponenciales y logaritmos

universitario clase 8 de 20 4 horas demostración exp_log_derivatives

e^x es la única función que es su propia derivada, y por eso e aparece en todas partes.

Fórmulas

(eˣ)' = eˣ
(ln x)' = 1/x
(aˣ)' = aˣ · ln a

Desarrollo

La función exponencial e^x tiene una propiedad que ninguna otra función no nula comparte: es su propia derivada. Ese hecho define el número e, y es la razón por la que aparece en toda ecuación que modele crecimiento proporcional a la cantidad presente.

Con otra base aparece un factor: (aˣ)' = aˣ·ln a. Solo cuando a = e ese factor vale 1. Es el mismo fenómeno que con los radianes (clase 062): existe una elección de unidad o de base que elimina las constantes de conversión, y esa elección es la «natural».

La derivada del logaritmo, 1/x, es igual de notable: una función trascendente cuya derivada es una función racional simple. De ahí que ∫dx/x = ln|x|, la única excepción a la regla de integración de potencias.

En machine learning estas dos derivadas aparecen constantemente. La derivada de la sigmoide se calcula con la de la exponencial; el gradiente de la cross-entropy, con la del logaritmo; y la combinación de ambas produce la simplificación más elegante del área: el gradiente de sigmoide más entropía cruzada es simplemente (p − y), sin términos residuales (clase 305).

Ejemplo trabajado

Las tres derivadas verificadas.

x = 2

d(eˣ)/dx numérica = 7.389056
e²                = 7.389056                ✓ es su propia derivada

d(ln x)/dx numérica = 0.500000
1/x = 0.5                                   ✓

d(3ˣ)/dx numérica = 9.887511
3²·ln 3 = 9 × 1.098612 = 9.887511           ✓ aparece el factor ln a

Qué calcula el laboratorio

e^x es su propia derivada; log tiene derivada 1/x.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/148-derivadas-de-exponenciales-y-logaritmos/lab.py
compmath run 148

Salidas del laboratorio (7)

d(e^x)/dx_numerica
e^x
es_su_propia_derivada
d(ln x)/dx_numerica
1/x
d(a^x)/dx_con_a=3
a^x·ln(a)

Muestra de la ejecución real

{
  "d(e^x)/dx_numerica": 7.3890561,
  "e^x": 7.38905609893065,
  "es_su_propia_derivada": true,
  "d(ln x)/dx_numerica": 0.5,
  "1/x": 0.5,
  "d(a^x)/dx_con_a=3": 9.8875106
}

Errores comunes

Escribir (aˣ)' = x·aˣ⁻¹: esa es la regla de la potencia, no de la exponencial.
Olvidar el factor ln a con bases distintas de e.
Derivar ln x sin restringir el dominio a x > 0.

Dónde se usa

Sigmoide y softmax, cross-entropy, decaimiento exponencial del learning rate, interés compuesto y toda ecuación diferencial de crecimiento proporcional.

Idea rectora de la parte

Taylor cambia una función difícil por un polinomio con error acotado.

Error a evitar

Derivar en un punto donde la función no es continua.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 18 — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Maor, E. e: The Story of a Number. Princeton University Press, 1994 — Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780691168487 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

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