Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

150 — Derivación implícita

universitario clase 10 de 20 4 horas demostración implicit_differentiation

La derivación implícita permite derivar una relación sin despejar una variable en función de la otra.

Fórmulas

x² + y² = r²  ⟹  dy/dx = −x/y
derivar ambos lados tratando y como función de x

Desarrollo

No toda relación entre x e y se puede despejar. x² + y² = 25 define una circunferencia, y despejar y obliga a elegir una de las dos ramas. La derivación implícita evita el problema: se deriva la ecuación entera respecto a x, tratando y como función de x y aplicando la regla de la cadena a cada término que la contenga.

Del término y² sale 2y·(dy/dx), y de ahí se despeja dy/dx. El resultado, −x/y, depende de ambas coordenadas, lo que es coherente: la pendiente de la tangente a una circunferencia depende de en qué punto se esté.

La verificación geométrica es bonita: la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en ese punto. La pendiente del radio es y/x y la de la tangente es −x/y, y su producto es −1, que es exactamente la condición de perpendicularidad de la clase 069. El laboratorio comprueba esa relación.

La técnica se generaliza al caso multivariable como el teorema de la función implícita, y aparece en machine learning en la diferenciación implícita de capas definidas como la solución de un problema de optimización —modelos de equilibrio profundo, capas de optimización diferenciables—, donde no hay fórmula explícita que derivar.

Ejemplo trabajado

Tangente a la circunferencia de radio 5 en (3,4).

x² + y² = 25

Derivar: 2x + 2y·(dy/dx) = 0
Despejar: dy/dx = −x/y = −3/4 = −0.75

Verificación numérica con y = √(25−x²):
  dy/dx en x=3 → −0.750000                  ✓

Recta tangente: y − 4 = −0.75(x − 3)

Perpendicularidad con el radio:
  pendiente del radio = 4/3
  (−3/4)·(4/3) = −1                         ✓

Qué calcula el laboratorio

Derivación implícita sobre la circunferencia x²+y²=25.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/150-derivacion-implicita/lab.py
compmath run 150

Salidas del laboratorio (7)

ecuacion
punto
dy/dx_implicita
dy/dx_numerica
coinciden
recta_tangente
tangente_perpendicular_al_radio

Muestra de la ejecución real

{
  "ecuacion": "x² + y² = 25",
  "punto": [
    3.0,
    4.0
  ],
  "dy/dx_implicita": -0.75,
  "dy/dx_numerica": -0.75,
  "coinciden": true,
  "recta_tangente": "y - 4.0 = -0.7500(x - 3.0)"
}

Errores comunes

Olvidar multiplicar por dy/dx al derivar términos que contienen y.
Despejar y antes de derivar cuando la relación no es una función.
Evaluar dy/dx en un punto donde y = 0: la tangente es vertical.

Dónde se usa

Curvas definidas implícitamente, teorema de la función implícita, capas de optimización diferenciables y modelos de equilibrio profundo.

Idea rectora de la parte

Derivada nula señala punto crítico, no necesariamente mínimo.

Error a evitar

Usar diferencias finitas con h demasiado pequeño y amplificar el error de redondeo.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008 — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Bai, Kolter & Koltun. Deep Equilibrium Models. NeurIPS, 2019 — Deep learning y Ecuaciones diferenciales: conexión declarada de esta parte · DOI 10.48550/arxiv.1909.01377 verificado en DataCite (2026-08-19).

Archivos de la clase

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