Inicio · Parte 07 — Cálculo diferencial e integral

144 — Derivada como tasa de cambio

universitario clase 4 de 20 4 horas demostración derivative_as_rate

La derivada es la pendiente de la mejor recta que aproxima la función cerca de un punto.

Fórmulas

f'(x) = lím(h→0) (f(x+h) − f(x))/h
diferencia central: (f(x+h) − f(x−h))/2h, error O(h²)

Desarrollo

La derivada nace de una pregunta física —¿cuál es la velocidad instantánea?— y se resuelve con un límite: la pendiente de la secante entre dos puntos, cuando esos puntos se juntan. El resultado es la pendiente de la tangente, y esa recta es la mejor aproximación lineal de la función cerca del punto.

Esa lectura, «mejor aproximación lineal», es más útil que «pendiente» porque se generaliza. En varias variables, la derivada es el gradiente y define el plano tangente (clase 166); en funciones vectoriales, es el Jacobiano. Siempre es lo mismo: el objeto lineal que mejor aproxima localmente.

Numéricamente, la diferencia central es superior a la adelantada. Su error es O(h²) en lugar de O(h), porque los términos de orden impar del desarrollo de Taylor se cancelan. Con h = 10⁻⁶, la central da unos 12 dígitos correctos y la adelantada unos 6.

Pero reducir h indefinidamente no mejora: por debajo de cierto valor, el error de redondeo de la resta —cancelación catastrófica, clase 032— domina sobre el error de truncamiento. Existe un h óptimo, aproximadamente √ε ≈ 1.5·10⁻⁸ para la central, y la clase 221 lo mide.

Ejemplo trabajado

Derivada de x² en x = 3 por varios caminos.

cociente incremental (f(3+h)−f(3))/h:
  h = 1.0     →  7.0
  h = 0.1     →  6.1
  h = 0.01    →  6.01
  h = 1e−4    →  6.0001

derivada exacta (2x): 6.0
diferencia central con h = 1e−6: 6.0000000000
error de la central: 8.8e−11

La central es dos órdenes mejor que la adelantada.

Qué calcula el laboratorio

Derivada como límite del cociente incremental.

python classes/part-07-calculo-diferencial-e-integral/144-derivada-como-tasa-de-cambio/lab.py
compmath run 144

Salidas del laboratorio (7)

funcion
punto
cocientes_incrementales
derivada_exacta_2x
diferencia_central
error_central
la_central_es_de_orden_h²

Muestra de la ejecución real

{
  "funcion": "x²",
  "punto": 3.0,
  "cocientes_incrementales": {
    "h=1": 7.0,
    "h=0.1": 6.100000000000012,
    "h=0.01": 6.009999999999849,
    "h=0.0001": 6.000100000012054
  },
  "derivada_exacta_2x": 6.0,
  "diferencia_central": 6.000000000838668,
  "error_central": 8.386678018723615e-10
}

Errores comunes

Usar h demasiado pequeño y amplificar el error de redondeo.
Usar la diferencia adelantada cuando la central cuesta lo mismo y es mejor.
Derivar en un punto donde la función no es continua.

Dónde se usa

Verificación de gradientes analíticos (gradient checking), análisis de sensibilidad, métodos numéricos y cualquier cálculo de tasa instantánea de cambio.

Idea rectora de la parte

Integrar es acumular; derivar e integrar son operaciones inversas.

Error a evitar

Usar diferencias finitas con h demasiado pequeño y amplificar el error de redondeo.

Conexión con IA

Sin regla de la cadena no hay entrenamiento por gradiente; sin Taylor no hay métodos de segundo orden ni análisis de convergencia.

Bibliografía de la clase

Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 9 — Análisis matemático y Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Nocedal & Wright. Numerical Optimization, 2ª ed., Springer, 2006, cap. 8 — Métodos numéricos y Optimización: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

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