Inicio · Parte 03
Del espacio a las coordenadas: distancia, ángulo, trigonometría, transformaciones lineales en el plano, coordenadas polares y proyección.
Descartes hizo en 1637 el movimiento que define esta parte: identificar un punto del plano con un par de números. A partir de ahí, toda pregunta geométrica se convierte en una pregunta algebraica, y toda respuesta algebraica tiene lectura geométrica. Esa doble vía es la que permite que un ordenador —que solo sabe operar con números— haga gráficos, robótica y visión artificial.
Las clases 061 a 067 construyen la trigonometría desde la geometría del triángulo y del círculo unitario. El punto que conviene no perder es por qué el radián es la unidad correcta: es la única en la que la derivada del seno es el coseno, sin factores de conversión. Trabajar en grados obliga a arrastrar un π/180 en cada derivada, y de ahí salen errores que no producen excepción, solo resultados escalados.
Las clases 068 a 071 son geometría analítica clásica: coordenadas, rectas, distancias y cónicas. La distancia punto-recta de la clase 070 es la misma fórmula que define el margen de una SVM (clase 289), y la ecuación general Ax + By + C = 0 es exactamente wᵀx + b = 0, la frontera de decisión de cualquier clasificador lineal.
Las clases 072 a 078 son el corazón computacional: vectores, transformaciones, matrices de transformación, coordenadas polares, planos y proyección. Aquí aparece por primera vez una matriz como transformación —no como tabla— y aparecen dos hechos que la parte 05 formalizará: componer transformaciones es multiplicar matrices, y el orden importa.
Las coordenadas homogéneas de la clase 073 son un truco brillante y poco intuitivo: añadiendo una dimensión, la traslación —que no es lineal— se convierte en una multiplicación de matrices. Es la razón por la que las GPU pueden aplicar toda la cadena de transformaciones de un vértice con un único producto matricial.
El cierre (079 y 080) monta el pipeline completo: modelo → mundo → cámara → pantalla, el mismo que ejecuta cualquier motor de videojuego y cualquier sistema de visión. Y el capstone comprueba una relación que resume la parte: el área de un polígono transformado es el área original multiplicada por el valor absoluto del determinante.
| # | Clase | Demostración ejecutable |
|---|---|---|
061 |
Puntos, segmentos y distancias | distances |
062 |
Ángulos y radianes | angles_radians |
063 |
Triángulos y semejanza | similar_triangles |
064 |
Teorema de Pitágoras | pythagoras |
065 |
Seno, coseno y tangente | trig_ratios |
066 |
Identidades trigonométricas básicas | trig_identities |
067 |
Círculo unitario | unit_circle |
068 |
Coordenadas cartesianas | cartesian_coordinates |
069 |
Pendiente y ecuación de la recta | line_equation |
070 |
Distancia punto-recta | point_line_distance |
071 |
Circunferencias y cónicas | conics |
072 |
Vectores geométricos 2D | vectors_2d |
073 |
Transformaciones: traslación y escala | translation_scale |
074 |
Rotaciones 2D | rotation_2d |
075 |
Matrices de transformación | transform_matrices |
076 |
Coordenadas polares | polar_coordinates |
077 |
Geometría 3D y planos | planes_3d |
078 |
Proyecciones y perspectiva | projection |
079 |
Aplicaciones en visión, robótica y videojuegos | applications_pipeline |
080 |
Capstone: motor geométrico 2D | capstone_geometry_engine |
compmath run --part 03| Término | Definición | Clase |
|---|---|---|
| Distancia euclídea | Norma L2 de la diferencia de dos puntos. Es la distancia 'en línea recta'. | 061 |
| Radián | Ángulo cuyo arco mide igual que el radio. Es la unidad en la que d(sin x)/dx = cos x sin factores extra. | 062 |
| Semejanza | Relación entre figuras con los mismos ángulos y lados proporcionales. Las áreas escalan con el cuadrado del factor. | 063 |
| Terna pitagórica | Tres enteros que cumplen a² + b² = c². Se generan con a = m²−n², b = 2mn, c = m²+n². | 064 |
| atan2 | Arcotangente de dos argumentos que devuelve el ángulo correcto en los cuatro cuadrantes. | 065 |
| Identidad pitagórica | sin²θ + cos²θ = 1. Es el teorema de Pitágoras sobre el círculo unitario. | 066 |
| Círculo unitario | Circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Define seno y coseno para cualquier ángulo real. | 067 |
| Cuadrante | Cada una de las cuatro regiones en que los ejes dividen el plano, numeradas en sentido antihorario. | 068 |
| Forma general de la recta | Ax + By + C = 0. Es la misma expresión que la frontera de decisión wᵀx + b = 0. | 069 |
| Pie de perpendicular | Proyección ortogonal de un punto sobre una recta; el punto de la recta más cercano a él. | 070 |
| Excentricidad | Cociente c/a que clasifica una cónica: 0 circunferencia, <1 elipse, 1 parábola, >1 hipérbola. | 071 |
| Vector unitario | Vector de norma 1. Codifica dirección sin magnitud. | 072 |
| Coordenadas homogéneas | Representación con una dimensión extra que convierte la traslación en multiplicación de matrices. | 073 |
| Matriz de rotación | Matriz ortogonal de determinante 1 que preserva normas y ángulos. | 074 |
| Determinante como factor de área | El valor absoluto del determinante es el factor por el que una transformación multiplica las áreas. | 075 |
| Coordenadas polares | Representación (r, θ) de un punto por su distancia al origen y su ángulo. | 076 |
| Producto cruz | Vector ortogonal a dos dados, cuya norma es el área del paralelogramo que forman. | 077 |
| Proyección en perspectiva | División por la profundidad que hace que los objetos lejanos se vean más pequeños. | 078 |