Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
sin²θ + cos²θ = 1
sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
cos(2θ) = cos²θ − sin²θLa identidad fundamental sin²θ + cos²θ = 1 no es una fórmula que memorizar: es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo que forma un punto del círculo unitario con los ejes. La hipotenusa es el radio, que vale 1, y los catetos son el coseno y el seno. Verla así hace innecesario recordarla.
De ella se derivan las demás mediante las fórmulas de suma de ángulos. La del ángulo doble, sin(2θ) = 2 sin θ cos θ, es el caso particular de sin(a+b) con a = b, y su utilidad es de eficiencia: permite calcular una función de 2θ sin evaluar la función trigonométrica de nuevo.
Las identidades cumplen además un papel de verificación: comprobar que sin²θ + cos²θ da 1 en varios ángulos es una prueba barata de que una implementación trigonométrica funciona. En punto flotante el resultado no será exactamente 1, y esa desviación —del orden del epsilon de máquina— es una medida de la calidad de la biblioteca.
En procesamiento de señales estas identidades permiten reescribir productos de senoidales como sumas, que es lo que hace la modulación y lo que subyace al análisis de Fourier de la parte 13. Y en el positional encoding de los Transformers, la fórmula de suma de ángulos es la que garantiza que un desplazamiento de posición sea una transformación lineal de la codificación.
Verificar las identidades en cinco ángulos.
θ sin²+cos² sin(2θ) 2·sin·cos coinciden
0° 1.000000 0.000000 0.000000 ✓
30° 1.000000 0.866025 0.866025 ✓
45° 1.000000 1.000000 1.000000 ✓
60° 1.000000 0.866025 0.866025 ✓
90° 1.000000 0.000000 0.000000 ✓
Nota numérica: sin²+cos² da 1.0 con error < 1e−16
(es una prueba de calidad de la implementación)Identidades fundamentales verificadas en varios ángulos.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/066-identidades-trigonometricas-basicas/lab.py
compmath run 0660°30°45°60°90°{
"0°": {
"sin²+cos²": 1.0,
"sin(2x)": 0.0,
"2·sin·cos": 0.0,
"identidad_doble_ok": true
},
"30°": {
"sin²+cos²": 1.0,
"sin(2x)": 0.8660254037844386,
"2·sin·cos": 0.8660254037844386,
"identidad_doble_ok": true
},
"45°": {
"sin²+cos²": 1.0,
"sin(2x)": 1.0,
"2·sin·cos": 1.0,
"identidad_doble_ok": true
},
"60°": {
"sin²+cos²": 1.0,
"sin(2x)": 0.8660254037844387,
"2·sin·cos": 0.8660254037844388,
"identidad_doble_ok": true
},
"90°": {
"sin²+cos²": 1.0,
"sin(2x)": 1.2246467991473532e-16,
"2·sin·cos": 1.2246467991473532e-16,
"identidad_doble_ok": true
}
}Simplificación de expresiones trigonométricas, modulación de señales, verificación de bibliotecas matemáticas y la construcción del positional encoding.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
10.1007/978-1-4612-0149-8, pendiente de resolver.10.48550/arxiv.1706.03762 verificado en DataCite (2026-08-19).