Inicio · Parte 02
Manipulación simbólica con criterio y la función como objeto central: dominio, imagen, composición, inversa y familias lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica.
El álgebra tiene mala fama porque se enseña como manipulación de símbolos sin objeto. Esta parte invierte el orden: primero el objeto —la función—, después las reglas para manipularlo. Una función no es una fórmula: es una asignación que a cada elemento de un dominio le hace corresponder exactamente uno de un codominio. La fórmula es solo una de las formas de describirla, y el dominio forma parte de su identidad.
Las clases 041 a 051 construyen la maquinaria simbólica: términos semejantes, propiedades, ecuaciones, sistemas, polinomios, factorización, cuadráticas, exponentes y logaritmos. El énfasis no está en resolver rápido sino en saber qué operación es reversible. Dividir por una expresión que puede anularse pierde soluciones; elevar al cuadrado introduce soluciones falsas. Cada paso de un despeje es un compromiso, y hay que saber cuál.
Las clases 052 a 059 son el corazón de la parte. Dominio y rango, familias lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, composición, inversa y funciones por tramos. Estas cinco familias cubren casi todo el modelado elemental, y saber reconocer cuál describe un conjunto de datos es una competencia directamente evaluable: el capstone 060 lo hace con residuos.
Dos ideas de esta parte reaparecen literalmente en deep learning. La primera es la composición: una red neuronal es f_n(...f_2(f_1(x))), una composición de funciones parametrizadas, y la regla de la cadena de la parte 07 es la derivada de esa composición. La segunda es que el logaritmo convierte productos en sumas, que es exactamente por qué toda función de pérdida probabilística se escribe en escala logarítmica: multiplicar diez mil probabilidades produce underflow, sumar diez mil logaritmos no.
La función por tramos de la clase 059 merece atención especial: ReLU, la activación más usada en deep learning, es literalmente una función por tramos, y su comportamiento —derivada 1 en un lado, 0 en el otro— se entiende aquí antes de que aparezca con nombre técnico.
Al terminar la parte deberías poder mirar una curva y decir qué familia la describe, mirar una fórmula y decir cuál es su dominio, y mirar una composición y decir en qué orden se aplican sus piezas.
compmath run --part 02| Término | Definición | Clase |
|---|---|---|
| Término semejante | Términos con la misma parte literal y los mismos exponentes. Solo ellos pueden sumarse entre sí. | 041 |
| Propiedad distributiva | a(b+c) = ab + ac. Es la propiedad que conecta suma y producto y la que justifica la regla de los signos. | 042 |
| Ecuación equivalente | Ecuación con el mismo conjunto solución. Se obtiene aplicando operaciones reversibles a ambos lados. | 043 |
| Desigualdad | Relación de orden entre expresiones. Multiplicar por un negativo invierte su sentido. | 044 |
| Sistema compatible determinado | Sistema con solución única. En 2×2 equivale a determinante no nulo. | 045 |
| Grado de un polinomio | Mayor exponente con coeficiente no nulo. El grado del producto es la suma de los grados. | 046 |
| Regla de Horner | Esquema de evaluación de polinomios que usa n multiplicaciones en lugar de n(n+1)/2. | 046 |
| Factorización | Escritura de un polinomio como producto. Sus raíces se leen directamente de los factores. | 047 |
| Discriminante | b² − 4ac. Su signo determina la naturaleza de las raíces antes de calcularlas. | 049 |
| Logaritmo | Exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento. Convierte productos en sumas. | 051 |
| Dominio | Conjunto de entradas válidas de una función. Forma parte de su definición, no es un detalle. | 052 |
| Imagen (rango) | Conjunto de valores que la función realmente alcanza. | 052 |
| Pendiente | Razón de cambio constante de una función lineal: cuánto cambia y por cada unidad de x. | 053 |
| Vértice | Punto extremo de una parábola, situado en x = −b/2a. Es el punto medio de las raíces. | 054 |
| Tiempo de duplicación | Tiempo que tarda una cantidad con crecimiento exponencial en duplicarse: ln 2 / ln(base). | 055 |
| Escala logarítmica | Eje donde distancias iguales representan factores iguales. Convierte exponenciales en rectas. | 056 |
| Composición | (g∘f)(x) = g(f(x)). No es conmutativa. Es la estructura de una red neuronal. | 057 |
| Función inversa | Función que deshace a otra. Existe solo si la original es inyectiva. Distinta del recíproco 1/f. | 058 |
| Función por tramos | Función definida por reglas distintas en subconjuntos del dominio. ReLU es el caso más usado en IA. | 059 |
| Suma de residuos al cuadrado (SSE) | Σ(observado − predicho)². Criterio para comparar modelos ajustados a los mismos datos. | 060 |