🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica

079 — Aplicaciones en visión, robótica y videojuegos

basico-intermedio clase 19 de 20 4 horas demostración applications_pipeline

El pipeline geométrico encadena modelo, mundo, cámara y pantalla como una composición de transformaciones.

Fórmulas

x_pantalla = Proyección · Vista · Modelo · x_local
perspectiva final: (f·x/z, f·y/z)

Desarrollo

Todo sistema que dibuja o interpreta escenas tridimensionales ejecuta la misma secuencia de cambios de coordenadas. El objeto se define en su espacio local; una matriz de modelo lo coloca en el mundo; una matriz de vista lo lleva al sistema de la cámara; y una proyección lo pasa a pantalla. Cada etapa es una transformación, y componerlas es multiplicar sus matrices.

La ventaja de esta arquitectura es de reutilización: un mismo modelo 3D se puede colocar cien veces en la escena cambiando solo la matriz de modelo, sin tocar sus vértices. Y la composición se calcula una vez por objeto, no una vez por vértice.

El orden de multiplicación es la fuente inagotable de errores, y no hay atajo: hay que fijar una convención (fila o columna, premultiplicar o posmultiplicar) y respetarla en todo el sistema. Las bibliotecas difieren entre sí, y mezclar dos convenciones produce escenas que se ven «casi bien».

El mismo pipeline, recorrido al revés, es el problema de la visión artificial: dada una imagen, recuperar la geometría de la escena. Ahí la división por z se convierte en la ambigüedad fundamental —no se puede distinguir un objeto pequeño y cercano de uno grande y lejano sin información adicional— y de ahí nacen la estereovisión y la estructura a partir del movimiento.

Ejemplo trabajado

Un punto recorriendo las cuatro etapas.

1. espacio modelo:   (1, 1, 1)

2. rotación 30° en Z → mundo:
   (0.366, 1.366, 1.0)

3. cámara desplazada 4 en Z:
   (0.366, 1.366, 5.0)

4. proyección con f = 1.5:
   x' = 1.5·0.366/5 = 0.1098
   y' = 1.5·1.366/5 = 0.4098

Etapas: modelo → mundo → cámara → proyección → pantalla

Qué calcula el laboratorio

Pipeline geométrico típico: modelo → mundo → cámara → pantalla.

python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/079-aplicaciones-en-vision-robotica-y-videojuegos/lab.py
compmath run 079

Salidas del laboratorio (6)

Muestra de la ejecución real

{
  "espacio_modelo": [
    1.0,
    1.0,
    1.0
  ],
  "tras_rotacion_30": [
    0.366025,
    1.366025,
    1.0
  ],
  "espacio_camara": [
    0.366025,
    1.366025,
    5.0
  ],
  "proyeccion_en_pantalla": [
    0.109808,
    0.409808
  ],
  "etapas": [
    "modelo",
    "mundo",
    "cámara",
    "proyección",
    "pantalla"
  ],
  "usado_en": "videojuegos, robótica, visión artificial y realidad aumentada"
}

Errores comunes

Dónde se usa

Motores de videojuegos, realidad aumentada, calibración de cámaras, robótica y reconstrucción 3D.

Idea rectora de la parte

Componer transformaciones es multiplicar matrices, y el orden importa.

Error a evitar

Mezclar grados y radianes en la misma expresión.

Conexión con IA

Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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