Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
proyección ortogonal sobre u: proj_u(x) = (x·u/u·u)·u
perspectiva: x' = f·x/z, y' = f·y/zHay dos proyecciones distintas y conviene no mezclarlas. La proyección ortogonal sobre una dirección es una operación lineal que descompone un vector en una componente paralela y otra perpendicular. Es la base de PCA (clase 135), de mínimos cuadrados (clase 119) y de cualquier «cuánto de esta dirección hay en este vector».
La proyección en perspectiva es otra cosa: divide las coordenadas por la profundidad, y por eso no es lineal. Es la que reproduce cómo vemos: dos objetos del mismo tamaño a distancias distintas ocupan ángulos distintos en la retina. La división por z es exactamente lo que hace que las vías del tren converjan en el horizonte.
La proyección ortogonal viene acompañada de un teorema de Pitágoras: si x = p + r con p la proyección y r el residuo ortogonal, entonces ‖x‖² = ‖p‖² + ‖r‖². Comprobar esa identidad es la verificación estándar de que una proyección se calculó bien, y el laboratorio la incluye.
Que la perspectiva no sea lineal explica por qué las coordenadas homogéneas de la clase 073 son imprescindibles en gráficos: la división por z se difiere hasta el final (la «división de perspectiva») y todo lo anterior se mantiene como productos de matrices.
Proyección ortogonal y perspectiva.
Ortogonal de v = (4,3) sobre u = (1,0):
coef = (v·u)/(u·u) = 4/1 = 4
proyección = (4, 0)
residuo = (0, 3)
residuo·u = 0 ✓ ortogonal
Pitágoras: 25 = 16 + 9 ✓
Perspectiva con f = 2, z = 5:
x' = 2·4/5 = 1.6
el mismo punto a z = 10 daría 0.8
→ al doblar la distancia, el tamaño se reduce a la mitadProyección ortogonal de un vector y proyección en perspectiva.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/078-proyecciones-y-perspectiva/lab.py
compmath run 078vdireccion_uproyeccionresiduoresiduo_ortogonal_a_upitagorasperspectiva_x'_con_f=2_z=5objetos_lejanos_se_encogen{
"v": [
4.0,
3.0
],
"direccion_u": [
1.0,
0.0
],
"proyeccion": [
4.0,
0.0
],
"residuo": [
0.0,
3.0
],
"residuo_ortogonal_a_u": true,
"pitagoras": true
}Pipeline gráfico, calibración de cámaras, PCA, mínimos cuadrados y descomposición ortogonal en general.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
9780511186189 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).