Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
punto del círculo: (cos θ, sin θ)
periodo: sin(θ + 2π) = sin θ
paridad: sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θEl triángulo rectángulo solo define las razones trigonométricas para ángulos entre 0 y 90°. El círculo unitario las extiende a cualquier número real: el punto que resulta de recorrer un arco de longitud θ desde (1,0) tiene coordenadas (cos θ, sin θ), y esa definición funciona para ángulos negativos, mayores que una vuelta o irracionales.
De esa definición se leen dos propiedades sin cálculo. La periodicidad: dar una vuelta completa devuelve al mismo punto, así que sin(θ + 2π) = sin θ. Y la paridad: reflejar respecto al eje x cambia el signo de la ordenada pero no de la abscisa, así que el seno es impar y el coseno es par.
La periodicidad tiene una consecuencia práctica que conviene tener presente: los ángulos no son comparables directamente. La diferencia entre 359° y 1° es de 2°, no de 358°. Calcular diferencias angulares exige normalizar al rango (−π, π], y olvidarlo produce saltos bruscos en robótica y en seguimiento de orientación.
La tabla de valores notables —0, 90, 180, 270, 360— conviene poder reconstruirla mirando el círculo en lugar de memorizarla: en 90° el punto es (0,1), así que el coseno es 0 y el seno 1. Numéricamente hay un detalle: cos(π/2) no da exactamente 0 sino 6.1e−17, porque π/2 no es representable exactamente.
Coordenadas en los ángulos notables.
ángulo (cos, sin)
0° ( 1, 0)
90° ( 0, 1)
180° (−1, 0)
270° ( 0, −1)
360° ( 1, 0) ← igual que 0°: periodo 2π
Paridad:
sin(−1) = −0.841471 = −sin(1) ✓ impar
cos(−1) = 0.540302 = cos(1) ✓ par
Detalle numérico: cos(π/2) = 6.12e−17, no exactamente 0
(π/2 no es representable en float64)El círculo unitario como diccionario de ángulos notables.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/067-circulo-unitario/lab.py
compmath run 067coordenadasradioperiodo_sinsin_es_imparcos_es_par{
"coordenadas": {
"0°": [
1.0,
0.0
],
"90°": [
0.0,
1.0
],
"180°": [
-1.0,
0.0
],
"270°": [
-0.0,
-1.0
],
"360°": [
1.0,
-0.0
]
},
"radio": 1.0,
"periodo_sin": 6.283185307179586,
"sin_es_impar": true,
"cos_es_par": true
}Orientación en robótica, ángulos de fase en señales, animación cíclica y cualquier fenómeno periódico. La periodicidad es la propiedad que explota Fourier.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
10.1007/978-1-4612-0149-8, pendiente de resolver.math.fmod y normalización de ángulos — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).