Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
pie de perpendicular: p − ((Ap₁+Bp₂+C)/(A²+B²))·(A,B)La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que los une, y esa longitud tiene fórmula cerrada. El numerador |Ax₀ + By₀ + C| mide cuánto «falla» el punto la ecuación de la recta; el denominador √(A²+B²) normaliza por la longitud del vector normal, para que el resultado sea una distancia y no dependa de cómo se escaló la ecuación.
Esa normalización es exactamente lo que ocurre en una SVM. El margen geométrico de un punto respecto al hiperplano wᵀx + b = 0 es |wᵀx + b| / ‖w‖, la misma expresión. Maximizar el margen equivale entonces a minimizar ‖w‖ sujeto a que todos los puntos queden bien clasificados, que es precisamente el problema de la clase 289.
El pie de perpendicular es el punto de la recta más cercano, y calcularlo es proyectar. La comprobación es doble: el pie debe satisfacer la ecuación de la recta, y la distancia del punto al pie debe coincidir con la fórmula. El laboratorio verifica ambas cosas.
La generalización a un hiperplano en ℝⁿ es inmediata y no requiere ideas nuevas: la fórmula es idéntica con más términos. Esa es la ventaja de haber escrito la recta en forma general en lugar de explícita.
Distancia del punto (2,7) a la recta 3x − 4y + 5 = 0.
numerador: |3·2 − 4·7 + 5| = |6 − 28 + 5| = 17
denominador: √(9 + 16) = 5
distancia: 17/5 = 3.4
Pie de perpendicular:
t = (3·2 − 4·7 + 5)/(9+16) = −17/25 = −0.68
pie = (2 − 3·(−0.68), 7 − (−4)·(−0.68)) = (4.04, 4.28)
Verificaciones:
3·4.04 − 4·4.28 + 5 = 0 ✓ el pie está en la recta
dist((2,7), (4.04,4.28)) = 3.4 ✓ coincide con la fórmulaDistancia de un punto a una recta y su proyección.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/070-distancia-punto-recta/lab.py
compmath run 070rectapuntodistanciapie_de_perpendiculardistancia_al_pieel_pie_pertenece_a_la_recta{
"recta": "3x - 4y + 5 = 0",
"punto": [
2.0,
7.0
],
"distancia": 3.4,
"pie_de_perpendicular": [
4.04,
4.279999999999999
],
"distancia_al_pie": 3.4000000000000004,
"el_pie_pertenece_a_la_recta": true
}Margen de una SVM, detección de colisiones, clustering basado en distancia a fronteras y métricas de separabilidad.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
10.1007/bf00994018 verificado en Crossref (2026-08-19).9780511186189 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).