Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
circunferencia: x² + y² = r²
elipse: x²/a² + y²/b² = 1, c = √(a²−b²), e = c/a
parábola y = x²: foco en (0, 1/4)Las cónicas —circunferencia, elipse, parábola e hipérbola— son las curvas que resultan de cortar un cono con un plano, y ese origen común explica que compartan una descripción unificada. La excentricidad e es el parámetro que las distingue: 0 para la circunferencia, entre 0 y 1 para la elipse, exactamente 1 para la parábola y mayor que 1 para la hipérbola.
No son una curiosidad clásica. Las órbitas planetarias son elipses con el Sol en un foco (primera ley de Kepler); las antenas parabólicas concentran las señales paralelas en el foco; las curvas de nivel de una forma cuadrática definida positiva son elipses, hecho central en la parte 06 y en la parte 12, donde la forma de esas elipses determina lo rápido que converge el descenso de gradiente.
Esa última conexión merece énfasis. Cuando la función objetivo tiene curvas de nivel muy alargadas —elipses de excentricidad alta—, el gradiente apunta casi perpendicular a la dirección del mínimo y el descenso zigzaguea. El cociente entre los semiejes es precisamente el número de condición del Hessiano.
La propiedad focal de la parábola —todos los rayos paralelos al eje se reflejan hacia el foco— es la que la hace útil en antenas y faros, y se demuestra con geometría elemental.
Tres cónicas y sus parámetros.
Circunferencia x² + y² = 9
radio 3, área = π·9 = 28.27, e = 0
Elipse x²/25 + y²/9 = 1
a = 5 (semieje mayor), b = 3 (semieje menor)
c = √(25 − 9) = 4 (distancia focal)
e = c/a = 0.8 (bastante alargada)
Parábola y = x²
foco en (0, 0.25), e = 1
Lectura en optimización:
curvas de nivel de x² + 20y² → elipse con e alta
→ el descenso de gradiente zigzagueaCircunferencia, elipse y parábola desde su ecuación.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/071-circunferencias-y-conicas/lab.py
compmath run 071circunferenciaradioarea_circuloelipsesemieje_mayorsemieje_menordistancia_focalexcentricidadparabola_y=x²_foco{
"circunferencia": "x² + y² = 9",
"radio": 3.0,
"area_circulo": 28.274333882308138,
"elipse": "x²/25 + y²/9 = 1",
"semieje_mayor": 5.0,
"semieje_menor": 3.0
}Órbitas, óptica, curvas de nivel de formas cuadráticas y diagnóstico de convergencia en optimización.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
9780471504580 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).