Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
u·v = Σuᵢvᵢ = ‖u‖‖v‖cos θ
‖u‖ = √(u·u)
u ⊥ v ⟺ u·v = 0Un vector admite dos lecturas que conviene mantener a la vez: es una lista de números y es una flecha con dirección y magnitud. El producto punto conecta ambas: definido algebraicamente como suma de productos componente a componente, resulta ser geométricamente ‖u‖‖v‖cos θ. Esa identidad es la que convierte el álgebra en geometría.
De ella se lee todo lo demás. Si el producto punto es positivo, los vectores apuntan hacia el mismo semiespacio; si es cero, son ortogonales; si es negativo, se oponen. La ortogonalidad como «producto punto nulo» es la definición que se generaliza a cualquier dimensión, donde el concepto de «ángulo recto» ya no es visualizable.
Normalizar un vector —dividirlo por su norma— separa dirección de magnitud. Comparar direcciones exige normalizar primero, y esa operación es exactamente la que define la similitud coseno, la métrica estándar entre embeddings (clase 322). Comparar sin normalizar mezcla «de qué habla» con «cuánto texto es», que casi nunca es lo que se quiere.
Este es el punto donde la parte 03 entrega el testigo a la parte 05: todo lo dicho aquí en dos dimensiones vale sin cambios en 768, con la salvedad de que la intuición visual deja de funcionar y hay que confiar en el álgebra.
Dos vectores perpendiculares.
u = (3, 4), v = (−4, 3)
‖u‖ = √(9+16) = 5
‖v‖ = √(16+9) = 5
u·v = 3·(−4) + 4·3 = −12 + 12 = 0 → ortogonales ✓
cos θ = 0/(5·5) = 0 → θ = 90°
u normalizado: (0.6, 0.8), norma = 1.0 ✓Vector como dirección y magnitud; ángulo entre vectores.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/072-vectores-geometricos-2d/lab.py
compmath run 072uv|u||v|u·vcos_thetaangulo_gradosson_ortogonalesu_normalizado{
"u": [
3.0,
4.0
],
"v": [
-4.0,
3.0
],
"|u|": 5.0,
"|v|": 5.0,
"u·v": 0.0,
"cos_theta": 0.0
}Similitud coseno entre embeddings, proyecciones, detección de ortogonalidad, iluminación en gráficos (producto punto entre normal y dirección de luz) y capas densas.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).