Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)
‖a × b‖ = ‖a‖‖b‖ sin θ = área del paralelogramo
plano: n·(x − p₀) = 0En tres dimensiones aparece una operación sin análogo en 2D: el producto cruz, que a dos vectores les asocia un tercero perpendicular a ambos. Su norma es el área del paralelogramo que forman, y su sentido lo da la regla de la mano derecha. Es una operación específica de ℝ³ —no se generaliza a dimensión arbitraria sin cambiar de formalismo—, y por eso es tan característica de la geometría espacial.
Un plano queda determinado por un punto y un vector normal: la ecuación n·(x − p₀) = 0 dice que el vector que va de p₀ a x es perpendicular a n. Como el producto cruz de dos vectores del plano da su normal, dos direcciones bastan para definir un plano.
La distancia de un punto a un plano se calcula con la misma estructura que la distancia punto-recta de la clase 070: producto punto con la normal, dividido por la norma de la normal. Cambia la dimensión, no la idea, y esa es la ventaja de haber entendido la versión 2D correctamente.
En gráficos por computador las normales son omnipresentes: determinan la iluminación (el brillo depende del producto punto entre la normal y la dirección de la luz), la orientación de una cara y si un polígono mira hacia la cámara o hacia el lado opuesto (backface culling).
Normal al plano z = 0 y distancia de un punto.
a = (1,0,0), b = (0,1,0)
a × b = (0·0 − 0·1, 0·0 − 1·0, 1·1 − 0·0) = (0, 0, 1)
Verificaciones:
(a×b)·a = 0 ✓ ortogonal a a
(a×b)·b = 0 ✓ ortogonal a b
‖a×b‖ = 1 = área del cuadrado unitario ✓
Distancia de (2,3,5) al plano z = 0:
|(0,0,1)·(2,3,5)| / ‖(0,0,1)‖ = 5/1 = 5Plano por su normal, distancia de un punto y producto cruz.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/077-geometria-3d-y-planos/lab.py
compmath run 077vector_avector_bnormal_axbplanopuntodistancia_al_planonormal_es_ortogonal_a_anorma_del_producto_cruz_es_el_area{
"vector_a": [
1.0,
0.0,
0.0
],
"vector_b": [
0.0,
1.0,
0.0
],
"normal_axb": [
0.0,
0.0,
1.0
],
"plano": "z = 0",
"punto": [
2.0,
3.0,
5.0
],
"distancia_al_plano": 5.0
}Iluminación y sombreado, orientación de superficies, detección de caras traseras, cinemática de sólidos rígidos y momento de fuerzas en física.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).