Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica
longitudes: L' = k·L
áreas: A' = k²·A
volúmenes: V' = k³·VDos figuras son semejantes si tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales. La consecuencia que sorprende es la ley de escalado: al multiplicar las longitudes por k, las áreas se multiplican por k² y los volúmenes por k³. Duplicar el tamaño de una figura cuadruplica su área y octuplica su volumen.
Esta ley explica fenómenos aparentemente inconexos. Por qué los animales grandes tienen extremidades proporcionalmente más gruesas (el peso crece con el volumen, la resistencia del hueso con la sección); por qué una pizza de 40 cm tiene cuatro veces más superficie que una de 20; por qué duplicar la resolución de una imagen cuadruplica los píxeles y, con ellos, el coste de procesarla.
En computación la ley de escalado es la que convierte una decisión aparentemente menor en un factor de coste. Pasar de imágenes de 224×224 a 448×448 no duplica el cómputo de una CNN: lo cuadruplica. Y en la atención de un Transformer, la memoria crece con el cuadrado de la longitud de secuencia, que es la razón de casi toda la investigación en atención eficiente.
El criterio de semejanza AA —dos ángulos iguales bastan— es el que hace útil el concepto: permite deducir proporcionalidad de lados sin medirlos, y es la base de la trigonometría, donde las razones seno y coseno dependen solo del ángulo precisamente porque todos los triángulos rectángulos con ese ángulo son semejantes.
Escalar un triángulo 3-4-5 por k = 2.5.
original: catetos 3 y 4, hipotenusa 5
perímetro 12, área 6
escalado: catetos 7.5 y 10, hipotenusa 12.5
perímetro 30, área 37.5
razón de perímetros: 30/12 = 2.5 = k ✓
razón de áreas: 37.5/6 = 6.25 = k² ✓
Los ángulos no cambian: 36.87°, 53.13°, 90°Semejanza: los ángulos se conservan, las longitudes escalan.
python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/063-triangulos-y-semejanza/lab.py
compmath run 063triangulo_originalfactor_de_escalatriangulo_semejanterazon_de_perimetrosrazon_de_areasarea_originalarea_escaladaangulos_invariantes{
"triangulo_original": [
3.0,
4.0,
5.0
],
"factor_de_escala": 2.5,
"triangulo_semejante": [
7.5,
10.0,
12.5
],
"razon_de_perimetros": 2.5,
"razon_de_areas": 6.25,
"area_original": 6.0
}Coste de procesar imágenes según resolución, memoria cuadrática de la atención, escalado de mallas en gráficos y análisis dimensional en ingeniería.
Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.
9780471504580 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).