🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 03 — Geometría, trigonometría y geometría analítica

068 — Coordenadas cartesianas

basico-intermedio clase 8 de 20 4 horas demostración cartesian_coordinates

Las coordenadas convierten preguntas geométricas en preguntas algebraicas.

Fórmulas

simetría respecto a x: (a, b) → (a, −b)
simetría respecto a y: (a, b) → (−a, b)
simetría respecto al origen: (a, b) → (−a, −b)

Desarrollo

La idea de Descartes —identificar el plano con ℝ²— es probablemente la más productiva de la matemática moderna. Convierte la geometría en álgebra: una recta es una ecuación, una circunferencia es otra, y la intersección de dos figuras es la solución de un sistema. Sin ella no habría gráficos por computador ni análisis de datos.

Los cuatro cuadrantes se numeran en sentido antihorario empezando por el de coordenadas positivas. Esa convención importa al interpretar atan2, cuyo signo depende del cuadrante, y al leer gráficas donde el eje y crece hacia abajo —convención habitual en pantallas e imágenes, que invierte el sentido de las rotaciones.

Las simetrías se expresan como cambios de signo, y ese es el primer ejemplo de que una transformación geométrica es una operación algebraica sobre coordenadas. La reflexión respecto al eje x es la matriz diag(1, −1), y su determinante negativo indica que invierte la orientación (clase 075).

En machine learning el «espacio de features» es literalmente un espacio de coordenadas, y cada observación es un punto. Toda la intuición geométrica de esta parte —distancia, proyección, frontera— se traslada directamente allí, con la advertencia de la clase 061 sobre la alta dimensión.

Ejemplo trabajado

Los cuatro cuadrantes y las simetrías.

punto      cuadrante
( 3,  2)       I
(−3,  2)       II
(−3, −2)       III
( 3, −2)       IV

Simetrías de (3, 2):
  respecto al eje x:  ( 3, −2)
  respecto al eje y:  (−3,  2)
  respecto al origen: (−3, −2)

Traslación (+1, −1): (3,2) → (4,1)

Qué calcula el laboratorio

Cuadrantes, simetrías y traslación de origen.

python classes/part-03-geometria-trigonometria-y-geometria-analitica/068-coordenadas-cartesianas/lab.py
compmath run 068

Salidas del laboratorio (6)

Muestra de la ejecución real

{
  "puntos": [
    [
      3.0,
      2.0
    ],
    [
      -3.0,
      2.0
    ],
    [
      -3.0,
      -2.0
    ],
    [
      3.0,
      -2.0
    ]
  ],
  "cuadrantes": [
    1,
    2,
    3,
    4
  ],
  "simetrico_respecto_a_x": [
    3.0,
    -2.0
  ],
  "simetrico_respecto_a_y": [
    -3.0,
    2.0
  ],
  "simetrico_respecto_al_origen": [
    -3.0,
    -2.0
  ],
  "trasladado_(+1,-1)": [
    [
      4.0,
      1.0
    ],
    [
      -2.0,
      1.0
    ],
    [
      -2.0,
      -3.0
    ],
    [
      4.0,
      -3.0
    ]
  ]
}

Errores comunes

Dónde se usa

Espacios de features, sistemas de coordenadas de pantalla frente a mundo, visualización de datos y transformaciones geométricas.

Idea rectora de la parte

El producto punto mide alineación; la norma mide magnitud.

Error a evitar

Aplicar rotación y traslación en el orden equivocado.

Conexión con IA

Las transformaciones geométricas son el caso visual de las transformaciones lineales que una red aplica a sus activaciones; la similitud coseno es trigonometría en alta dimensión.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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