Inicio · Parte 02 — Álgebra y funciones
raíces: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
vértice: xᵥ = −b/2a, yᵥ = a·xᵥ² + b·xᵥ + cLa ecuación cuadrática es el primer caso en que la solución exige una fórmula y no solo despejar. Su deducción —completar el cuadrado— es instructiva porque es la misma técnica que aparece en la parte 06 al diagonalizar formas cuadráticas y en la parte 09 al normalizar la densidad de una gaussiana.
El vértice está en x = −b/2a, que es exactamente el punto medio entre las dos raíces. Eso no es coincidencia: la parábola es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su vértice, y las raíces son simétricas respecto a ella. De ahí que el vértice se pueda calcular sin conocer las raíces, y viceversa.
La forma de vértice, a(x − xᵥ)² + yᵥ, hace evidente lo que la forma estándar oculta: el signo de a decide si el vértice es mínimo o máximo, y yᵥ es el valor extremo. En optimización esto es el caso más simple posible de la condición de segundo orden que la parte 08 generaliza con el Hessiano.
La minimización de una cuadrática es el problema modelo de toda la parte 12: la función objetivo x² + 20y² que usan los optimizadores es una cuadrática multivariable, y su mínimo se conoce analíticamente, lo que permite medir cuánto se acerca cada algoritmo.
Analizar 2x² − 8x + 6 = 0.
a = 2, b = −8, c = 6
discriminante = 64 − 48 = 16 > 0 → dos raíces reales
raíces: (8 ± 4)/4 → r₁ = 3, r₂ = 1
vértice: xᵥ = −(−8)/(2·2) = 2
yᵥ = 2·4 − 8·2 + 6 = −2
Comprobación de simetría:
punto medio de las raíces = (3 + 1)/2 = 2 = xᵥ ✓
Como a = 2 > 0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un MÍNIMO.Resolver una cuadrática y contrastar con la forma de vértice.
python classes/part-02-algebra-y-funciones/048-ecuaciones-cuadraticas/lab.py
compmath run 048ecuaciondiscriminanteraicesvertice_xvertice_yvertice_es_punto_medio_de_raices{
"ecuacion": "2x² - 8x + 6 = 0",
"discriminante": 16.0,
"raices": [
3.0,
1.0
],
"vertice_x": 2.0,
"vertice_y": -2.0,
"vertice_es_punto_medio_de_raices": true
}Optimización cuadrática (clase 258), ajuste por mínimos cuadrados —cuyo objetivo es una cuadrática— y análisis de trayectorias parabólicas en física y videojuegos.
Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.
9780511804441 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).