058 — Funciones inversas

basico clase 18 de 20 4 horas demostración inverse_function

La inversa deshace la función y existe solo si es inyectiva; no es el recíproco 1/f.

Fórmulas

f⁻¹(f(x)) = x  para todo x del dominio
f inyectiva ⟺ f(a) = f(b) ⟹ a = b

Desarrollo

La función inversa deshace lo que la original hizo. Para que exista, la función debe ser inyectiva: dos entradas distintas no pueden dar la misma salida, porque de lo contrario la inversa no sabría a cuál volver. f(x) = x² no es invertible en todo ℝ —2 y −2 dan lo mismo— pero sí lo es restringida a x ≥ 0, y esa restricción es la que define la raíz cuadrada.

La notación f⁻¹ es desafortunada porque se parece a f⁻¹ = 1/f, y no lo es. Para f(x) = 3x − 4, la inversa es (y+4)/3 y el recíproco es 1/(3x−4). Son funciones completamente distintas y confundirlas es un error clásico.

Gráficamente, la inversa es la reflexión respecto a la recta y = x, lo que da una forma visual de comprobar si existe: si alguna recta horizontal corta la gráfica más de una vez, la función no es inyectiva y no tiene inversa global.

En machine learning las inversas aparecen en los normalizing flows, que exigen transformaciones invertibles con jacobiano calculable, y en toda transformación de datos que deba deshacerse para interpretar una predicción en las unidades originales (desestandarizar).

Ejemplo trabajado

Inversa de f(x) = 3x − 4 y contraste con el recíproco.

Despejar:  y = 3x − 4  →  x = (y + 4)/3
f⁻¹(y) = (y + 4)/3

Comprobación en x = 5:
  f(5) = 11
  f⁻¹(11) = (11 + 4)/3 = 5      ✓ roundtrip

Recíproco (COSA DISTINTA):
  1/f(5) = 1/11 = 0.0909

¿f⁻¹ = 1/f?   No.

Condición: f debe ser inyectiva. 3x − 4 lo es en todo ℝ.

Qué calcula el laboratorio

Inversa frente a recíproco: dos objetos distintos.

python classes/part-02-algebra-y-funciones/058-funciones-inversas/lab.py
compmath run 058

Salidas del laboratorio (8)

f
f_inversa
f(5)
f_inv(f(5))
roundtrip_ok
reciproco_1/f(5)
inversa_es_reciproco
condicion_de_existencia

Muestra de la ejecución real

{
  "f": "3x - 4",
  "f_inversa": "(y + 4)/3",
  "f(5)": 11.0,
  "f_inv(f(5))": 5.0,
  "roundtrip_ok": true,
  "reciproco_1/f(5)": 0.09090909090909091
}

Errores comunes

Confundir la inversa f⁻¹ con el recíproco 1/f.
Invertir una función sin comprobar que es inyectiva.
Olvidar restringir el dominio para que la inversa exista (raíz cuadrada).

Dónde se usa

Desestandarizar predicciones, normalizing flows, cambio de variable en probabilidad (con su jacobiano) y la relación entre exponencial y logaritmo.

Idea rectora de la parte

El discriminante decide la naturaleza de las raíces antes de calcularlas.

Error a evitar

Confundir función inversa con recíproco.

Conexión con IA

Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.

Bibliografía de la clase

Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 12 — Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Papamakarios, G. et al. Normalizing Flows for Probabilistic Modeling and Inference. JMLR, 2021 — Deep learning y Modelos generativos y Probabilidad: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria comprobada en Journal of Machine Learning Research (2026-08-19).

Archivos de la clase

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