Inicio · Parte 02 — Álgebra y funciones
f(x) = ax² + bx + c
xᵥ = −b/2a; a > 0 ⟹ mínimo, a < 0 ⟹ máximoLa función cuadrática es el primer modelo con un extremo, y por eso es el ejemplo canónico de optimización. Todo lo que la parte 12 hace con funciones complicadas se puede visualizar aquí: hay un punto donde la derivada se anula, y el signo de la curvatura decide si es mínimo o máximo.
La concavidad la determina a: positivo abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; negativo abre hacia abajo y es un máximo. En la parte 08 ese a se convertirá en el Hessiano, y «positivo» en «definido positivo», pero la lógica es idéntica.
La simetría respecto al eje vertical x = xᵥ es una propiedad estructural: f(xᵥ − h) y f(xᵥ + h) valen lo mismo para cualquier h. Comprobarlo numéricamente es una verificación barata de que el vértice se calculó bien.
Las cuadráticas son además el problema modelo de la optimización numérica porque su mínimo se conoce en forma cerrada. Toda la parte 12 usa f(x,y) = x² + 20y² como banco de pruebas precisamente por eso: se puede medir exactamente cuánto se aleja cada optimizador del óptimo conocido.
Analizar f(x) = −x² + 6x − 5.
a = −1 < 0 → abre hacia abajo, el vértice es un MÁXIMO
xᵥ = −6/(2·(−1)) = 3
yᵥ = −9 + 18 − 5 = 4
Simetría (h = 2):
f(1) = −1 + 6 − 5 = 0
f(5) = −25 + 30 − 5 = 0 ✓ iguales
raíces: −x² + 6x − 5 = 0 → x = 1, x = 5
punto medio: (1+5)/2 = 3 = xᵥ ✓Vértice, eje de simetría y concavidad.
python classes/part-02-algebra-y-funciones/054-funciones-cuadraticas-y-parabolas/lab.py
compmath run 054funcionconcavidadverticeeje_de_simetriaes_maximof(xv-2)f(xv+2)simetria_verificada{
"funcion": "f(x) = -x² + 6x - 5",
"concavidad": "hacia abajo",
"vertice": [
3.0,
4.0
],
"eje_de_simetria": 3.0,
"es_maximo": true,
"f(xv-2)": 0.0
}Optimización cuadrática, ajuste por mínimos cuadrados, trayectorias balísticas y aproximación de segundo orden de cualquier función suave (Taylor, clase 151).
Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.
9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).