Inicio · Parte 02 — Álgebra y funciones
P(t) = P₀·bᵗ
tiempo de duplicación = ln 2 / ln b
regla del 72: t ≈ 72 / (porcentaje anual)La diferencia entre crecimiento lineal y exponencial es la diferencia entre sumar y multiplicar una cantidad fija en cada periodo. Es fácil de enunciar y difícil de intuir: la intuición humana es lineal, y por eso las predicciones sobre procesos exponenciales —epidemias, interés compuesto, capacidad de cómputo— fallan sistemáticamente por defecto.
El indicador más útil es el tiempo de duplicación: cuánto tarda la cantidad en multiplicarse por dos. Se obtiene de ln 2 / ln b y no depende del valor inicial, lo que lo convierte en una propiedad del proceso. La «regla del 72» es su aproximación mental: dividir 72 entre el porcentaje anual da los años aproximados.
Todo crecimiento exponencial real termina saturándose, porque los recursos son finitos. El modelo exponencial es válido en la fase inicial y deja de serlo después; el modelo logístico describe la transición. Aplicar un exponencial fuera de su fase de validez produce predicciones absurdas, y ese es el error de modelado más citado en divulgación científica.
En machine learning el crecimiento exponencial aparece en el decaimiento del learning rate, en las medias móviles exponenciales de Adam (clase 250) y en el término e^z de la softmax, cuyo desbordamiento obliga a restar el máximo (clase 321).
Población que crece un 8 % anual desde un millón.
P(t) = 10⁶ · 1.08ᵗ
t = 0 1 000 000
t = 5 1 469 328
t = 10 2 158 925
t = 20 4 660 957
razón entre años consecutivos: P(6)/P(5) = 1.08 (constante) ✓
tiempo de duplicación: ln 2 / ln 1.08 = 0.6931/0.07696 = 9.006 años
regla del 72: 72/8 = 9 años ✓ aproximaciónCrecimiento exponencial: razón constante, no diferencia constante.
python classes/part-02-algebra-y-funciones/055-funciones-exponenciales/lab.py
compmath run 055modelovaloresrazon_entre_años_consecutivostiempo_de_duplicacionregla_del_72_aproximada{
"modelo": "P(t) = 1e6 · 1.08^t",
"valores": {
"año_0": 1000000.0,
"año_5": 1469328.0768000006,
"año_10": 2158924.997272788,
"año_20": 4660957.143849309
},
"razon_entre_años_consecutivos": 1.0799999999999998,
"tiempo_de_duplicacion": 9.006468342000588,
"regla_del_72_aproximada": 9.0
}Interés compuesto, crecimiento de usuarios, propagación epidémica, decaimiento del learning rate y medias móviles exponenciales de los optimizadores.
Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.