044 — Desigualdades lineales

basico clase 4 de 20 4 horas demostración linear_inequality

Multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo invierte su sentido.

Fórmulas

a < b  y  k > 0  ⟹  ka < kb
a < b  y  k < 0  ⟹  ka > kb

Desarrollo

Una desigualdad describe un conjunto, no un punto. La solución de −3x + 4 > 10 no es un número: es el intervalo (−∞, −2). Esa diferencia de naturaleza explica por qué el resultado se expresa como intervalo o como condición, y por qué conviene comprobarlo con un valor de prueba dentro y otro fuera.

La regla del signo tiene una justificación geométrica clara. Multiplicar por un negativo refleja la recta numérica respecto al origen, y una reflexión invierte el orden: lo que estaba a la izquierda queda a la derecha. Es la misma «media vuelta» que la clase 002 usó para explicar el producto de signos.

Al resolver, el hábito seguro es despejar sin dividir por negativos: pasar los términos de modo que el coeficiente de la incógnita quede positivo. Si no se puede evitar, hay que invertir el símbolo y marcarlo explícitamente, porque es el error más frecuente y el más silencioso: produce el intervalo complementario, que suele parecer razonable.

Las desigualdades son el lenguaje de las restricciones en optimización. La parte 12 escribe g(x) ≤ 0 para cada restricción, y las condiciones KKT (clase 257) tratan por separado las restricciones activas —donde se cumple la igualdad— de las inactivas.

Ejemplo trabajado

Resolver −3x + 4 > 10 y comprobar con dos valores.

−3x + 4 > 10
−3x     > 6          (restar 4)
  x     < −2         (dividir por −3: SE INVIERTE)

Frontera: x = −2

Prueba dentro  (x = −5):  −3(−5) + 4 = 19 > 10   ✓
Prueba fuera   (x =  0):  −3(0)  + 4 =  4 > 10   ✗

Solución: (−∞, −2)

Qué calcula el laboratorio

Multiplicar por un negativo invierte el sentido de la desigualdad.

python classes/part-02-algebra-y-funciones/044-desigualdades-lineales/lab.py
compmath run 044

Salidas del laboratorio (6)

desigualdad
frontera
solucion
verifica_x=-5
verifica_x=0
regla

Muestra de la ejecución real

{
  "desigualdad": "-3x + 4 > 10",
  "frontera": -2.0,
  "solucion": "x < -2",
  "verifica_x=-5": true,
  "verifica_x=0": false,
  "regla": "al dividir por un negativo se invierte el signo"
}

Errores comunes

Olvidar invertir el símbolo al dividir por un negativo.
Dar la solución como un punto en lugar de como un intervalo.
No comprobar con un valor dentro y otro fuera del intervalo obtenido.

Dónde se usa

Restricciones en optimización (parte 12), rangos de validez de un modelo, umbrales de decisión de un clasificador y condiciones de estabilidad numérica (h < 2/|λ|).

Idea rectora de la parte

El logaritmo convierte producto en suma: por eso aparece en toda función de pérdida.

Error a evitar

Dividir por una expresión que puede anularse y perder soluciones.

Conexión con IA

Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.

Bibliografía de la clase

Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
Boyd & Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge, 2004, cap. 2 — Optimización: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780511804441 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

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