043 — Ecuaciones lineales de una variable

basico clase 3 de 20 4 horas demostración linear_equation

Resolver una ecuación es aplicar operaciones reversibles hasta aislar la incógnita.

Fórmulas

ax + b = c  ⟹  x = (c − b)/a,  a ≠ 0
residuo = ax + b − c = 0

Desarrollo

Cada paso de un despeje transforma la ecuación en otra equivalente: con el mismo conjunto solución. Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados siempre preserva la equivalencia. Multiplicar o dividir por una cantidad no nula, también. La condición «no nula» es la que hay que vigilar: dividir por una expresión que puede anularse pierde soluciones sin avisar.

Los casos degenerados no son curiosidades de examen. Si a = 0, la ecuación 0·x = 0 tiene infinitas soluciones y 0·x = 5 no tiene ninguna. En una implementación, ambos casos deben detectarse y reportarse; lanzar una división por cero es peor que devolver un diagnóstico. La clase 113 encontrará la versión matricial del mismo fenómeno.

Otras operaciones no son reversibles y hay que declararlo. Elevar al cuadrado ambos lados puede introducir soluciones falsas: de x = 2 se pasa a x² = 4, que además admite x = −2. Por eso, tras elevar al cuadrado, hay que comprobar cada solución candidata en la ecuación original.

La verificación cierra el proceso y es innegociable: sustituir y comprobar que el residuo es cero. Ese hábito —calcular el residuo en lugar de confiar en el procedimiento— es el mismo que se usará para sistemas lineales (clase 113), métodos iterativos (clase 233) y ajuste por mínimos cuadrados (clase 131).

Ejemplo trabajado

Resolver 7x − 3 = 25 con verificación y casos degenerados.

7x − 3 = 25
7x     = 28        (sumar 3, reversible)
 x     = 4         (dividir por 7 ≠ 0, reversible)

Verificación: 7·4 − 3 = 25    ✓
Residuo:      7·4 − 3 − 25 = 0 ✓

Casos degenerados (a = 0):
  0·x = 0  →  infinitas soluciones
  0·x = 5  →  ninguna solución

Qué calcula el laboratorio

Resolver ax + b = c y verificar el residuo.

python classes/part-02-algebra-y-funciones/043-ecuaciones-lineales-de-una-variable/lab.py
compmath run 043

Salidas del laboratorio (6)

ecuacion
x
residuo
sin_solucion_si_a_es_0
caso_0x=0
caso_0x=5

Muestra de la ejecución real

{
  "ecuacion": "7x - 3 = 25",
  "x": 4.0,
  "residuo": 0.0,
  "sin_solucion_si_a_es_0": true,
  "caso_0x=0": "infinitas soluciones",
  "caso_0x=5": "ninguna solución"
}

Errores comunes

Dividir por una expresión con variable sin excluir el caso en que se anula.
Elevar al cuadrado y no comprobar las soluciones en la ecuación original.
No reportar el caso degenerado a = 0 en una implementación.

Dónde se usa

Todo despeje analítico, la condición de primer orden ∇f = 0 en optimización y la resolución de sistemas lineales. El residuo es el criterio de aceptación universal.

Idea rectora de la parte

El discriminante decide la naturaleza de las raíces antes de calcularlas.

Error a evitar

Confundir función inversa con recíproco.

Conexión con IA

Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.

Bibliografía de la clase

Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.
Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

Archivos de la clase

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