Inicio · Parte 02 — Álgebra y funciones
x² + bx + c = (x − r₁)(x − r₂)
r₁ + r₂ = −b, r₁·r₂ = cFactorizar un polinomio es escribirlo como producto de factores más simples. Su valor práctico es que las raíces se leen directamente: si p(x) = (x−1)(x−2), las raíces son 1 y 2 sin resolver nada. Esa es la razón por la que factorizar es útil, y no un ejercicio de manipulación.
Las relaciones de Vieta conectan las raíces con los coeficientes sin calcularlas: para x² + bx + c, la suma de las raíces es −b y su producto es c. Esto sirve para dos cosas. Primero, para adivinar factorizaciones con coeficientes enteros: hay que buscar dos números que sumen −b y multipliquen c. Segundo, y más importante en este programa, para verificar: si las raíces calculadas no satisfacen las relaciones, hay un error.
Esa verificación es exactamente la que la clase 036 usó para detectar la inestabilidad de la fórmula cuadrática. El producto de las raíces debe ser c/a; cuando la fórmula ingenua sufre cancelación, la relación de Vieta lo delata de inmediato.
No todo polinomio factoriza sobre los racionales. x² + 1 no tiene raíces reales y x² − 2 las tiene irracionales. El teorema fundamental del álgebra garantiza que sobre los complejos todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces contando multiplicidad, y ese es el marco en el que la factorización siempre existe.
Factorizar x² − 3x + 2 y verificar con Vieta.
Buscar r₁, r₂ con r₁ + r₂ = 3 y r₁·r₂ = 2
Candidatos enteros: 1 y 2
x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
Verificación desarrollando:
(x−1)(x−2) = x² − 2x − x + 2 = x² − 3x + 2 ✓
Vieta:
suma: 1 + 2 = 3 = −b ✓ (b = −3)
producto: 1 · 2 = 2 = c ✓Factorizar x² - 3x + 2 y comprobar las raíces.
python classes/part-02-algebra-y-funciones/047-factorizacion-elemental/lab.py
compmath run 047polinomioraicesfactorizacionsuma_de_raicessuma_teorica_-bproducto_de_raicesproducto_teorico_c{
"polinomio": "x² - 3x + 2",
"raices": [
2.0,
1.0
],
"factorizacion": "(x - 2)(x - 1)",
"suma_de_raices": 3.0,
"suma_teorica_-b": 3.0,
"producto_de_raices": 2.0
}Simplificación de expresiones racionales, análisis de estabilidad por raíces del polinomio característico y verificación de solvers de raíces (clase 036).
Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.