059 — Funciones por tramos

basico clase 19 de 20 4 horas demostración piecewise_function

Una función por tramos se define con reglas distintas en subconjuntos del dominio; ReLU es el ejemplo dominante en IA.

Fórmulas

ReLU(x) = max(0, x)
continuidad en el corte: límite por la izquierda = límite por la derecha = valor

Desarrollo

Definir una función por tramos es lo natural cuando el fenómeno cambia de régimen: una tarifa con tramos, un impuesto progresivo, una penalización que solo actúa por encima de un umbral. La única pregunta técnica es qué ocurre en los puntos de corte, y ahí hay que comprobar dos cosas: si la función es continua (los límites laterales coinciden con el valor) y si es derivable (las pendientes laterales coinciden).

Continua y derivable no son lo mismo. ReLU es continua en 0 —ambos lados tienden a 0— pero no derivable, porque la pendiente salta de 0 a 1. En la práctica, los frameworks definen la derivada en 0 por convenio (habitualmente 0), y eso funciona porque el punto exacto tiene medida nula.

ReLU es la activación más usada en deep learning y es literalmente una función por tramos. Su éxito frente a la sigmoide tiene una explicación directa que la clase 303 desarrolla: su derivada vale exactamente 1 en el semieje positivo, así que el gradiente no se atenúa al propagarse por muchas capas. La sigmoide, cuya derivada máxima es 0.25, hace que el gradiente se desvanezca (clase 314).

La contrapartida también es visible aquí: para x < 0 la derivada de ReLU es 0, así que una neurona que caiga en esa región deja de recibir gradiente y «muere». Leaky ReLU —otro tramo, con pendiente pequeña en lugar de nula— existe para evitarlo.

Ejemplo trabajado

Analizar una función de tres tramos.

f(x) = |x|    si x < 0
       x²     si 0 ≤ x < 2
       4      si x ≥ 2

f(−3)    = 3
f(0)     = 0
f(1.999) = 3.996
f(2)     = 4

Continuidad en x = 0:  lím⁻ = 0,  lím⁺ = 0,  f(0) = 0     ✓
Continuidad en x = 2:  lím⁻ = 4,  lím⁺ = 4,  f(2) = 4     ✓

Derivabilidad en x = 0:
  pendiente por la izquierda: −1
  pendiente por la derecha:    0        ✗ no derivable

Qué calcula el laboratorio

Una función por tramos y su continuidad en el punto de corte.

python classes/part-02-algebra-y-funciones/059-funciones-por-tramos/lab.py
compmath run 059

Salidas del laboratorio (8)

definicion
f(-3)
f(0)
f(1.999)
f(2)
continua_en_0
continua_en_2
relu_es_por_tramos

Muestra de la ejecución real

{
  "definicion": "|x| si x<0; x² si 0<=x<2; 4 si x>=2",
  "f(-3)": 3.0,
  "f(0)": 0.0,
  "f(1.999)": 3.9960010000000006,
  "f(2)": 4.0,
  "continua_en_0": true
}

Errores comunes

Comprobar continuidad y dar por hecha la derivabilidad.
Olvidar definir el valor en el punto de corte.
Suponer que ReLU es derivable en 0: no lo es; su derivada allí es un convenio.

Dónde se usa

Activaciones ReLU y Leaky ReLU, funciones de pérdida robustas como Huber (clase 304), tarifas por tramos e impuestos progresivos.

Idea rectora de la parte

El logaritmo convierte producto en suma: por eso aparece en toda función de pérdida.

Error a evitar

Dividir por una expresión que puede anularse y perder soluciones.

Conexión con IA

Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.

Bibliografía de la clase

Glorot, Bordes & Bengio. Deep Sparse Rectifier Neural Networks. AISTATS, 2011 — Deep learning: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Proceedings of Machine Learning Research (2026-08-19).
Goodfellow, Bengio & Courville. Deep Learning. MIT Press, 2016, cap. 6 — Deep learning: el tema de esta clase · ISBN-13 9780262337373 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

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