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Inicio · Parte 02 — Álgebra y funciones

046 — Polinomios y operaciones

basico clase 6 de 20 4 horas demostración polynomial_ops

El esquema de Horner evalúa un polinomio de grado n con n multiplicaciones en lugar de n(n+1)/2.

Fórmulas

p(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀
Horner: p(x) = (...((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + ...) + a₀
grado(p·q) = grado(p) + grado(q)

Desarrollo

Los polinomios son las funciones más simples después de las lineales, y su aritmética es la de los enteros con otra notación: se suman término a término y se multiplican por convolución de coeficientes. Esa operación —multiplicar polinomios es convolucionar sus coeficientes— es literalmente la misma que la convolución discreta de la clase 271, y es la razón por la que la FFT sirve para multiplicar polinomios grandes.

Evaluar un polinomio de forma ingenua calcula cada potencia por separado: x², x³, x⁴... lo que suma n(n+1)/2 multiplicaciones. El esquema de Horner factoriza sucesivamente y necesita solo n multiplicaciones y n sumas. Para grado 100, eso son 100 operaciones frente a 5050.

Horner no es solo más rápido: es más estable numéricamente, porque evita calcular potencias grandes que luego se cancelan con coeficientes pequeños. Es el algoritmo que usan las bibliotecas para evaluar polinomios, incluidos los que aproximan sin, exp o log internamente.

El grado del producto es la suma de los grados, hecho que parece trivial y tiene consecuencias: multiplicar dos polinomios de grado 50 da uno de grado 100, y por eso el coste de las operaciones simbólicas crece rápido. Es la razón por la que el álgebra computacional es cara.

Ejemplo trabajado

Producto y evaluación de p(x) = x² − 3x + 2.

p = x² − 3x + 2       (grado 2)
q = 2x + 1            (grado 1)

p·q: convolución de [1,−3,2] con [2,1]
     = 2x³ − 5x² + x + 2      (grado 3 = 2 + 1)  ✓

Evaluar p(3):
  directo: 3² − 3·3 + 2 = 9 − 9 + 2 = 2
  Horner:  ((1)·3 + (−3))·3 + 2 = (0)·3 + 2 = 2   ✓

  multiplicaciones directas: 3   (x², y dos productos)
  multiplicaciones Horner:   2

Qué calcula el laboratorio

Suma, producto y evaluación de polinomios por Horner.

python classes/part-02-algebra-y-funciones/046-polinomios-y-operaciones/lab.py
compmath run 046

Salidas del laboratorio (8)

Muestra de la ejecución real

{
  "p": "x² - 3x + 2",
  "q": "2x + 1",
  "grado_p": 2,
  "grado_producto": 3,
  "coeficientes_producto": [
    2.0,
    -5.0,
    1.0,
    2.0
  ],
  "p(3)_horner": 2.0
}

Errores comunes

Dónde se usa

Evaluación de funciones especiales en bibliotecas matemáticas, interpolación (clase 225), ajuste polinómico y aritmética de precisión arbitraria. La convolución de coeficientes es la misma operación que en señales.

Idea rectora de la parte

Una ecuación restringe; una función asigna. No son lo mismo.

Error a evitar

Confundir función inversa con recíproco.

Conexión con IA

Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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