053 — Funciones lineales y pendiente

basico clase 13 de 20 4 horas demostración linear_function

Una función lineal tiene razón de cambio constante; la pendiente es esa razón.

Fórmulas

y = mx + b
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Desarrollo

La función lineal es el modelo más simple que no es constante, y por eso es la primera hipótesis razonable ante cualquier conjunto de datos. Su propiedad definitoria es que la razón de cambio es constante: aumentar x en una unidad siempre cambia y en m, independientemente de dónde se esté.

Comprobar linealidad es directo: calcular la pendiente con dos puntos y verificar que predice correctamente un tercero. Si no lo hace, la relación no es lineal, y conviene saberlo antes de ajustar una recta. Esa comprobación es la versión elemental del análisis de residuos que la parte 10 formaliza.

La pendiente es un peso en el sentido del machine learning: dice cuánto contribuye la entrada a la salida. La generalización a varias entradas, y = w₁x₁ + ... + wₙxₙ + b, es exactamente una capa lineal, y cada wᵢ es la pendiente parcial respecto a xᵢ —lo que la parte 08 llamará derivada parcial—.

Una advertencia que el programa repetirá: casi ninguna relación real es lineal en todo su rango. La linealidad es una aproximación local, y la parte 07 explicará por qué: la derivada es precisamente la pendiente de la mejor recta que aproxima la función cerca de un punto.

Ejemplo trabajado

Comprobar linealidad con tres puntos.

puntos: (1, 5), (3, 11), (7, 23)

pendiente con los dos primeros:
  m = (11 − 5)/(3 − 1) = 6/2 = 3

intercepto:
  b = 5 − 3·1 = 2

modelo: y = 3x + 2

predicción del tercer punto:
  3·7 + 2 = 23     observado: 23     ✓  es lineal

Si el tercer punto hubiera sido (7, 30), el modelo lineal quedaría descartado con una sola comprobación.

Qué calcula el laboratorio

Pendiente como razón de cambio constante.

python classes/part-02-algebra-y-funciones/053-funciones-lineales-y-pendiente/lab.py
compmath run 053

Salidas del laboratorio (6)

puntos
pendiente
intercepto
ecuacion
predice_tercer_punto
es_lineal

Muestra de la ejecución real

{
  "puntos": [
    [
      1.0,
      5.0
    ],
    [
      3.0,
      11.0
    ],
    [
      7.0,
      23.0
    ]
  ],
  "pendiente": 3.0,
  "intercepto": 2.0,
  "ecuacion": "y = 3x + 2",
  "predice_tercer_punto": 23.0,
  "es_lineal": true
}

Errores comunes

Ajustar una recta sin comprobar antes que la relación es aproximadamente lineal.
Confundir pendiente con correlación: la pendiente tiene unidades, la correlación no.
Extrapolar un modelo lineal fuera del rango de los datos observados.

Dónde se usa

Regresión lineal (clase 282), capas densas (clase 110), tasas de cambio y cualquier aproximación de primer orden. La derivada es la pendiente de la recta tangente.

Idea rectora de la parte

El discriminante decide la naturaleza de las raíces antes de calcularlas.

Error a evitar

Dividir por una expresión que puede anularse y perder soluciones.

Conexión con IA

Una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. La sigmoide, la softmax y la log-verosimilitud son álgebra de exponenciales y logaritmos.

Bibliografía de la clase

Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023 — Álgebra lineal: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

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