Inicio · Parte 05
Vectores, normas, producto punto, independencia, span, sistemas lineales, eliminación de Gauss, rango, inversa, determinante y proyección ortogonal.
Si hubiera que elegir una parte del programa como la más rentable para alguien que quiere entender IA, sería esta. Todo modelo moderno —desde la regresión lineal hasta un Transformer de cien mil millones de parámetros— opera sobre vectores y matrices, y casi toda su computación es producto matricial. Quien no distingue un espacio columna de un espacio fila no puede depurar un error de dimensiones ni entender por qué una capa pierde información.
El cambio de perspectiva que propone la parte es concreto: dejar de ver una matriz como una tabla y verla como una función. Una matriz A de tamaño m×n es una transformación lineal de ℝⁿ en ℝᵐ, y sus columnas son las imágenes de los vectores de la base. Con esa lectura, Ax deja de ser «filas por columnas» y pasa a ser una combinación lineal de las columnas de A con los coeficientes de x —que es exactamente lo que hace una capa densa con sus pesos—.
Las clases 101 a 108 construyen el vocabulario vectorial: operaciones, producto punto, normas, independencia y span. El producto punto es el protagonista: mide alineación, define ortogonalidad y es la operación que ejecutan miles de millones de veces por segundo los aceleradores. La similitud coseno de un buscador semántico es un producto punto normalizado, ni más ni menos.
Las clases 109 a 117 pasan a las matrices: producto, transpuesta, sistemas lineales, eliminación de Gauss, rango, inversa y determinante. Aquí aparece el mensaje práctico más importante de la parte: resolver Ax = b casi nunca requiere calcular A⁻¹. Invertir es más caro y numéricamente peor que factorizar; ninguna biblioteca seria invierte una matriz para resolver un sistema, y saber por qué distingue a quien entiende de quien recita.
Las clases 118 y 119 introducen la ortogonalidad como propiedad numérica privilegiada: las transformaciones ortogonales no amplifican el error, y la proyección ortogonal es la mejor aproximación posible en norma euclídea. Ese resultado es el que sostiene los mínimos cuadrados (parte 06), PCA (clase 135) y la descomposición de la varianza en estadística.
El capstone construye un sistema de recomendación por similitud coseno entre usuarios. No usa ninguna biblioteca de machine learning: es todo producto punto y norma. Ese es el punto de la parte.
| # | Clase | Demostración ejecutable |
|---|---|---|
101 |
Escalares, vectores y matrices | scalars_vectors_matrices |
102 |
Operaciones con vectores | vector_operations |
103 |
Producto punto y similitud | dot_product |
104 |
Normas y distancias | norms_distances |
105 |
Vectores unitarios | unit_vectors |
106 |
Combinaciones lineales | linear_combinations |
107 |
Independencia y dependencia lineal | linear_independence |
108 |
Span y subespacios | span_subspaces |
109 |
Matrices y operaciones básicas | matrix_basics |
110 |
Producto matriz-vector | matrix_vector |
111 |
Producto de matrices | matrix_product |
112 |
Transpuesta y simetría | transpose_symmetry |
113 |
Sistemas lineales | linear_systems |
114 |
Eliminación de Gauss | gaussian_elimination_demo |
115 |
Forma escalonada y rango | echelon_rank |
116 |
Inversa de una matriz | matrix_inverse |
117 |
Determinantes | determinants |
118 |
Matrices ortogonales | orthogonal_matrices |
119 |
Proyecciones ortogonales | orthogonal_projection |
120 |
Capstone: resolver un sistema de recomendación lineal | capstone_linear_recommender |
compmath run --part 05| Término | Definición | Clase |
|---|---|---|
| Escalar, vector, matriz, tensor | Tensores de orden 0, 1, 2 y n. El orden es el número de índices necesarios para localizar un elemento. | 101 |
| Combinación lineal | Suma de vectores multiplicados por escalares. Es la operación que define todo el álgebra lineal. | 106 |
| Producto punto | Σuᵢvᵢ. Mide alineación; es cero si y solo si los vectores son ortogonales. | 103 |
| Norma | Medida de magnitud de un vector. L2 es la euclídea; L1 induce dispersión; L∞ mira el máximo. | 104 |
| Desigualdad triangular | ‖u+v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖. Es una de las tres condiciones que definen una norma. | 102 |
| Vector unitario | Vector de norma 1. Normalizar separa dirección de magnitud. | 105 |
| Independencia lineal | Ningún vector del conjunto es combinación de los demás. Se detecta por el rango, no por inspección. | 107 |
| Span | Conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores. Es siempre un subespacio. | 108 |
| Subespacio | Subconjunto cerrado bajo suma y producto por escalar. Contiene siempre al vector cero. | 108 |
| Espacio columna | Span de las columnas de A. Es donde vive Ax; el sistema Ax = b tiene solución si y solo si b está en él. | 110 |
| Producto matricial | Composición de transformaciones lineales. Asociativo pero no conmutativo. Coste O(n³) ingenuo. | 111 |
| Transpuesta | Intercambio de filas y columnas. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, con el orden invertido. | 112 |
| Pivoteo parcial | Intercambio de filas para usar el mayor pivote disponible. Evita dividir por valores casi nulos. | 114 |
| Rango | Dimensión del espacio columna. Es la dimensión efectiva de la salida de la transformación. | 115 |
| Teorema del rango-nulidad | rango + nulidad = número de columnas. Lo que no llega a la imagen se pierde en el núcleo. | 115 |
| Matriz singular | Matriz sin inversa; su determinante es cero y su rango es deficiente. | 116 |
| Determinante | Factor por el que la transformación escala el volumen. Cero significa que aplasta el espacio. | 117 |
| Matriz ortogonal | QᵀQ = I. Preserva normas y ángulos, y su número de condición es 1: no amplifica el error. | 118 |
| Proyección ortogonal | Mejor aproximación de un vector dentro de un subespacio, en norma euclídea. Su residuo es ortogonal al subespacio. | 119 |