Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices
independientes ⟺ Σαᵢvᵢ = 0 solo con todos los αᵢ = 0
k vectores en ℝⁿ con k > n son siempre dependientesUn conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno se puede escribir como combinación de los demás. La definición formal —la única combinación que da el vector cero es la trivial— es la operativa, porque se traduce en un sistema homogéneo cuya única solución debe ser la nula.
En la práctica no se comprueba a ojo: se calcula el rango. Si el rango del conjunto coincide con el número de vectores, son independientes; si es menor, hay al menos una relación de dependencia. Para conjuntos cuadrados, el determinante nulo es equivalente y más rápido de calcular.
La dependencia lineal en datos tiene un nombre propio en estadística: multicolinealidad. Cuando dos features son casi combinación lineal una de otra, la matriz XᵀX se vuelve casi singular, los coeficientes de la regresión se disparan y pierden interpretabilidad. Ridge (clase 283) existe en buena parte para mitigar exactamente eso.
Un hecho de conteo que conviene tener presente: en ℝⁿ no puede haber más de n vectores independientes. Si un conjunto de datos tiene más features que observaciones, las filas son necesariamente dependientes, y eso garantiza que el sistema esté indeterminado sin regularización.
Dos conjuntos de tres vectores en ℝ³.
A = base canónica rango 3 = 3 vectores → independientes ✓
B = {(1,2,3), (2,4,6), (1,1,1)}
fila2 = 2 · fila1 → hay dependencia
rango(B) = 2 < 3 → dependientes ✗
det(B) = 0 ✓ coherente
En ℝ³ nunca puede haber 4 vectores independientes.Independencia detectada por el rango, no por inspección.
python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/107-independencia-y-dependencia-lineal/lab.py
compmath run 107conjunto_Arango_AA_independienteconjunto_Brango_BB_independienterelacion_en_Bdeterminante_B{
"conjunto_A": [
[
1.0,
0.0,
0.0
],
[
0.0,
1.0,
0.0
],
[
0.0,
0.0,
1.0
]
],
"rango_A": 3,
"A_independiente": true,
"conjunto_B": [
[
1.0,
2.0,
3.0
],
[
2.0,
4.0,
6.0
],
[
1.0,
1.0,
1.0
]
],
"rango_B": 2,
"B_independiente": false
}Detección de multicolinealidad, selección de features, diagnóstico de sistemas mal condicionados y reducción de dimensionalidad.
Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780387848570 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).