Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices

101 — Escalares, vectores y matrices

intermedio clase 1 de 20 4 horas demostración scalars_vectors_matrices

Escalar, vector, matriz y tensor son el mismo objeto con distinto número de índices.

Fórmulas

escalar: orden 0 · vector: orden 1 · matriz: orden 2
shape de una matriz m×n: (m, n)
(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ

Desarrollo

La jerarquía escalar → vector → matriz → tensor no es una lista de objetos distintos: es el mismo objeto con distinto número de índices. Un escalar necesita cero índices para localizar su valor, un vector uno, una matriz dos y un tensor de orden n, n índices. Esa lectura unifica lo que en muchos cursos se presenta por separado.

El shape es el dato operativo: la tupla de tamaños de cada dimensión. La mayoría de los errores al programar con arrays son errores de shape, y la disciplina más rentable al escribir código numérico es anotar el shape esperado de cada variable. Un comentario # (batch, seq, d_model) ahorra horas de depuración.

Multiplicar un vector por un escalar escala su magnitud sin cambiar su dirección —salvo que el escalar sea negativo, que la invierte—. Es la operación más simple y ya contiene la idea central: las operaciones lineales respetan la estructura del espacio.

La transposición intercambia filas y columnas, y su efecto sobre el shape es invertir la tupla: una matriz (3,2) transpuesta es (2,3). En deep learning la transposición aparece constantemente al calcular gradientes, porque la derivada de Wx respecto a x involucra Wᵀ.

Ejemplo trabajado

Los cuatro objetos y sus shapes.

escalar   3.0                      shape ()      orden 0
vector    [1, 2, 3]                shape (3,)    orden 1
matriz    [[1,2],[3,4],[5,6]]      shape (3,2)   orden 2
tensor    imágenes de un lote      shape (N,C,H,W)  orden 4

escalar × vector:  3·[1,2,3] = [3,6,9]

transpuesta de la matriz (3,2) → shape (2,3)
  [[1,3,5],
   [2,4,6]]

Qué calcula el laboratorio

Escalar, vector y matriz como objetos con forma y significado.

python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/101-escalares-vectores-y-matrices/lab.py
compmath run 101

Salidas del laboratorio (8)

escalar
vector
shape_vector
matriz
shape_matriz
escalar_por_vector
transpuesta_shape
un_tensor_de_orden_0_es_un_escalar

Muestra de la ejecución real

{
  "escalar": 3.0,
  "vector": [
    1.0,
    2.0,
    3.0
  ],
  "shape_vector": [
    3
  ],
  "matriz": [
    [
      1.0,
      2.0
    ],
    [
      3.0,
      4.0
    ],
    [
      5.0,
      6.0
    ]
  ],
  "shape_matriz": [
    3,
    2
  ],
  "escalar_por_vector": [
    3.0,
    6.0,
    9.0
  ]
}

Errores comunes

Confundir el orden del tensor con el tamaño de sus dimensiones.
No anotar el shape esperado de cada variable en código numérico.
Suponer que un vector es una matriz columna: en NumPy, (3,) y (3,1) no son lo mismo.

Dónde se usa

Toda representación de datos en machine learning: un lote de imágenes es un tensor de orden 4, un lote de secuencias uno de orden 3. Los errores de shape son la categoría de bug más frecuente al entrenar modelos.

Idea rectora de la parte

Una matriz es una función lineal escrita en una base concreta.

Error a evitar

Invertir una matriz mal condicionada en lugar de factorizar.

Conexión con IA

Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.

Bibliografía de la clase

Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 1 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Goodfellow, Bengio & Courville. Deep Learning. MIT Press, 2016, cap. 2 — Deep learning y Machine learning: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780262337373 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

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