Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices

118 — Matrices ortogonales

intermedio clase 18 de 20 4 horas demostración orthogonal_matrices

Las matrices ortogonales preservan normas y ángulos, y su número de condición es 1.

Fórmulas

QᵀQ = I ⟹ Q⁻¹ = Qᵀ
‖Qv‖ = ‖v‖
κ(Q) = 1

Desarrollo

Una matriz ortogonal tiene columnas ortonormales: unitarias y perpendiculares entre sí. La condición QᵀQ = I implica que su inversa es su transpuesta, lo que convierte una operación cara O(n³) en una gratuita.

Su propiedad más valiosa es numérica: preservan la norma, ‖Qv‖ = ‖v‖. Como no estiran ni encogen ningún vector, su número de condición es exactamente 1, el mínimo posible. Aplicar una transformación ortogonal no amplifica el error relativo, y esa es la razón por la que el análisis numérico serio se construye sobre ellas.

De ahí que los algoritmos estables usen rotaciones de Givens y reflexiones de Householder en lugar de transformaciones generales: la factorización QR es más estable que las ecuaciones normales precisamente porque Q es ortogonal (clase 234). Y de ahí que la SVD, cuya U y V son ortogonales, sea la herramienta más robusta del álgebra lineal numérica.

Las rotaciones son ortogonales con determinante 1; las reflexiones, con determinante −1. En deep learning se han propuesto capas con matrices ortogonales precisamente para evitar que los gradientes se desvanezcan o exploten al propagarse por muchas capas: si la norma se preserva en cada capa, se preserva en toda la red.

Ejemplo trabajado

Verificar las propiedades de una rotación.

Q = rotación de 37°
  [[0.7986, −0.6018],
   [0.6018,  0.7986]]

QᵀQ = [[1,0],[0,1]]                     ✓ ortogonal
det Q = 1                               ✓ rotación (no reflexión)

v = (3,4),  ‖v‖ = 5
Qv = (0.0887, 4.9992),  ‖Qv‖ = 5.0      ✓ preserva la norma

Q⁻¹ = Qᵀ  →  invertir es transponer, coste O(n²) en lugar de O(n³)

Qué calcula el laboratorio

Matriz ortogonal: QᵀQ = I, preserva normas y ángulos.

python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/118-matrices-ortogonales/lab.py
compmath run 118

Salidas del laboratorio (8)

Q
QᵀQ
det_Q
|v|
|Qv|
preserva_norma
inversa_es_la_transpuesta
por_que_importa

Muestra de la ejecución real

{
  "Q": [
    [
      0.798636,
      -0.601815
    ],
    [
      0.601815,
      0.798636
    ]
  ],
  "QᵀQ": [
    [
      1.0,
      0.0
    ],
    [
      0.0,
      1.0
    ]
  ],
  "det_Q": 1.0,
  "|v|": 5.0,
  "|Qv|": 5.0,
  "preserva_norma": true
}

Errores comunes

Confundir matriz ortogonal (QᵀQ = I) con matriz simétrica (A = Aᵀ).
Invertir una matriz ortogonal en lugar de transponerla.
Suponer que cualquier matriz de columnas ortogonales es ortogonal: deben ser además unitarias.

Dónde se usa

Factorización QR, SVD, rotaciones en gráficos, capas ortogonales en redes profundas y algoritmos numéricamente estables en general.

Idea rectora de la parte

Resolver Ax=b casi nunca requiere calcular A⁻¹.

Error a evitar

Aplicar producto punto a vectores de escalas incomparables.

Conexión con IA

Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.

Bibliografía de la clase

Trefethen & Bau. Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, lecc. 10 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898719574 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Arjovsky, Shah & Bengio. Unitary Evolution Recurrent Neural Networks. ICML, 2016 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · DOI 10.48550/arxiv.1511.06464 verificado en DataCite (2026-08-19).

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