Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices
rango(A) ≤ mín(m, n)
rango + nulidad = número de columnasEl rango de una matriz es la dimensión de su espacio columna, es decir, cuántas direcciones independientes puede alcanzar la transformación. Es el número que realmente describe una matriz, mucho más que su tamaño: una matriz 1000×1000 de rango 3 contiene tanta información como una de 3×3.
El teorema del rango-nulidad —rango más nulidad igual al número de columnas— dice que lo que no llega a la imagen se pierde en el núcleo. Si una transformación de ℝ⁵ en ℝ⁵ tiene rango 3, hay un subespacio de dimensión 2 que colapsa al cero: dos direcciones de información desaparecen sin posibilidad de recuperación.
Numéricamente, el rango es delicado. Una matriz puede ser de rango completo en aritmética exacta y comportarse como deficiente en punto flotante si sus valores singulares más pequeños están cerca del ruido. Por eso el rango numérico se define con una tolerancia —cuántos valores singulares superan un umbral— y se calcula con SVD, no con eliminación.
En machine learning el rango bajo es a la vez un problema y una herramienta. Es un problema cuando indica features redundantes; es una herramienta cuando se impone a propósito para comprimir, como en LoRA, que adapta un modelo grande añadiendo matrices de rango muy bajo.
Rango de tres matrices.
A = [[1,2],[3,4]] rango 2 (completo) det = −2 ≠ 0
B = [[1,2],[2,4]] rango 1 (deficiente) det = 0
C = [[1,2,3],[4,5,6]] rango 2 máximo posible: mín(2,3) = 2
Teorema del rango-nulidad para B:
columnas = 2, rango = 1 → nulidad = 1
el núcleo es la recta generada por (2,−1)
B·(2,−1) = (0,0) ✓Rango: la dimensión efectiva de la transformación.
python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/115-forma-escalonada-y-rango/lab.py
compmath run 115rango_completarango_deficienterango_rectangular_2x3rango_maximo_posibledeficiente_es_invertiblenulidad_de_la_deficienteteorema_rango_nulidad{
"rango_completa": 2,
"rango_deficiente": 1,
"rango_rectangular_2x3": 2,
"rango_maximo_posible": 2,
"deficiente_es_invertible": false,
"nulidad_de_la_deficiente": 1
}Detección de redundancia en features, compresión de bajo rango, LoRA, diagnóstico de sistemas indeterminados y análisis de capacidad de una capa.
Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).10.48550/arxiv.2106.09685 verificado en DataCite (2026-08-19).