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Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices

108 — Span y subespacios

intermedio clase 8 de 20 4 horas demostración span_subspaces

El span de un conjunto es siempre un subespacio, y su dimensión es el rango del conjunto.

Fórmulas

span{v₁,...,vₖ} = {Σαᵢvᵢ}
dim(span) = rango del conjunto

Desarrollo

El span de un conjunto de vectores es el conjunto de todas sus combinaciones lineales. Siempre es un subespacio: contiene el vector cero y es cerrado bajo suma y producto por escalar. Esa cerradura es lo que lo distingue de un subconjunto cualquiera.

Su dimensión —el número de vectores independientes que contiene— determina qué tipo de objeto geométrico es. En ℝ³, el span de un vector no nulo es una recta por el origen; el de dos vectores independientes, un plano; el de tres, todo el espacio. Añadir un vector que ya está en el span no cambia nada, y esa es la definición operativa de redundancia.

La conexión con datos es directa. Si las features de un conjunto de datos generan un subespacio de dimensión menor que el número de features, hay redundancia, y PCA (clase 135) encuentra una base de ese subespacio con menos vectores. La «dimensión intrínseca» de un conjunto de datos es la dimensión de su span aproximado.

En redes neuronales, el espacio columna de la matriz de pesos determina qué salidas son alcanzables. Si W tiene rango deficiente, la capa proyecta sobre un subespacio y pierde información irrecuperablemente: dos entradas distintas pueden producir la misma salida.

Ejemplo trabajado

Span en ℝ³.

v₁ = (1,0,0),  v₂ = (0,1,0)

span{v₁, v₂}:  dimensión 2  →  el plano z = 0
¿contiene (0,0,1)?  No

Al añadir v₃ = (0,0,1):
  rango pasa de 2 a 3  →  ahora genera todo ℝ³

Propiedades del subespacio:
  contiene el (0,0,0)                  ✓
  cerrado bajo suma y escala           ✓

Qué calcula el laboratorio

El span de dos vectores en ℝ³ es un plano, no todo el espacio.

python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/108-span-y-subespacios/lab.py
compmath run 108

Salidas del laboratorio (7)

Muestra de la ejecución real

{
  "generadores": [
    [
      1.0,
      0.0,
      0.0
    ],
    [
      0.0,
      1.0,
      0.0
    ]
  ],
  "dimension_del_span": 2,
  "es_un_plano": true,
  "vector_fuera_del_span": [
    0.0,
    0.0,
    1.0
  ],
  "rango_al_añadirlo": 3,
  "ahora_genera_R3": true
}

Errores comunes

Dónde se usa

Dimensión intrínseca de un conjunto de datos, PCA, análisis de capacidad de una capa y compresión por reducción de rango.

Idea rectora de la parte

Resolver Ax=b casi nunca requiere calcular A⁻¹.

Error a evitar

Confundir dimensión del espacio con número de vectores.

Conexión con IA

Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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