Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices

112 — Transpuesta y simetría

intermedio clase 12 de 20 4 horas demostración transpose_symmetry

Toda matriz cuadrada se descompone en parte simétrica y antisimétrica, y AᵀA es siempre simétrica.

Fórmulas

A = (A+Aᵀ)/2 + (A−Aᵀ)/2
AᵀA es simétrica y semidefinida positiva

Desarrollo

Una matriz es simétrica si coincide con su transpuesta. Las simétricas tienen propiedades excepcionales que la parte 06 desarrolla: sus autovalores son reales, sus autovectores son ortogonales y siempre son diagonalizables. Nada de eso está garantizado para una matriz general.

Toda matriz cuadrada se descompone de forma única en una parte simétrica y una antisimétrica, y esa descomposición es un ejemplo de una idea general: separar un objeto en componentes con propiedades distintas para tratar cada una por separado. En física, esa separación distingue deformación de rotación.

El hecho más útil de esta clase es que AᵀA es siempre simétrica, sea A cuadrada o no, y además semidefinida positiva. Esa propiedad es la que hace que las ecuaciones normales de mínimos cuadrados (clase 131) tengan solución, que la matriz de covarianza (clase 191) sea diagonalizable con autovalores no negativos, y que la SVD exista para toda matriz (clase 132).

La contrapartida numérica es que AᵀA eleva al cuadrado el número de condición de A. Por eso, aunque las ecuaciones normales son correctas en teoría, en la práctica se prefiere QR o SVD: la clase 234 mide esa diferencia.

Ejemplo trabajado

Descomposición y simetría de AᵀA.

A = [[1,2],[4,5]]

parte simétrica    = (A + Aᵀ)/2 = [[1,3],[3,5]]
parte antisimétrica = (A − Aᵀ)/2 = [[0,−1],[1,0]]
suma = A                                   ✓

simétrica = su transpuesta                 ✓
antisimétrica: diagonal nula, opuestos fuera

AᵀA = [[17,22],[22,29]]
¿es simétrica?  Sí                         ✓

Qué calcula el laboratorio

Toda matriz cuadrada se descompone en parte simétrica y antisimétrica.

python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/112-transpuesta-y-simetria/lab.py
compmath run 112

Salidas del laboratorio (6)

A
parte_simetrica
parte_antisimetrica
suma_reconstruye_A
sim_es_simetrica
AᵀA_es_simetrica

Muestra de la ejecución real

{
  "A": [
    [
      1.0,
      2.0
    ],
    [
      4.0,
      5.0
    ]
  ],
  "parte_simetrica": [
    [
      1.0,
      3.0
    ],
    [
      3.0,
      5.0
    ]
  ],
  "parte_antisimetrica": [
    [
      0.0,
      -1.0
    ],
    [
      1.0,
      0.0
    ]
  ],
  "suma_reconstruye_A": true,
  "sim_es_simetrica": true,
  "AᵀA_es_simetrica": true
}

Errores comunes

Suponer que una matriz general tiene autovalores reales.
Usar las ecuaciones normales con matrices mal condicionadas sin considerar QR.
Confundir simétrica (A = Aᵀ) con ortogonal (AᵀA = I).

Dónde se usa

Matriz de covarianza, ecuaciones normales, Hessiano (siempre simétrico si f es dos veces derivable con continuidad) y matriz de Gram en métodos kernel.

Idea rectora de la parte

El rango es la dimensión real de la salida, no el tamaño de la tabla.

Error a evitar

Aplicar producto punto a vectores de escalas incomparables.

Conexión con IA

Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.

Bibliografía de la clase

Trefethen & Bau. Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898719574 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 6 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

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